Từ mặt đất một quả cầu được néo theo phương hướng lên hợp với phương  ngang một góc ${60}^0$ với vận tốc 20m/s.

a. Viết phương trình quỹ đạo của quả cầu. Quỹ đạo này là đường gì?

b. Xác định tọa độ và vận tốc của quả cầu lức 2s

c. Quả cầu chạm đất ở vị trí nào? Vận tốc khi chạm đất là bao nhiêu?

a. Chọn hệ quy chiếu Oxy như hình vẽ

Thời điểm ban đầu

Chiếu lên trục ox có

$x_0=0;{v_0}_x=v_{0}cos\alpha =10\sqrt{2}(m/s)$

Chiếu lên trục oy có

$y_0=0;v_{0y}=v_{0}sin\alpha =10\surd 2(m/s)$

Xét tại thời điểm t có $a_x=0;a_y=-g$

Chiếu lên trục ox có

$v_x=10\surd 2(m/s);x=10\surd 2t$

Chiếu lên trục Oy có

$v_y=10\surd 2-10t;y=45+10\surd 2t-5t^2$

$\Rightarrow y=45+x-\frac{x^2}{40}$Vậy vật có quỹ đạo là một Parabol

Khi lên đến độ cao max thì: $v_y=0\Rightarrow 0=10\surd 2-10t\Rightarrow t=\surd 2\left(s\right)$

$H_{max}=y=45+10.\surd 2.\surd 2-5(\surd 2{)}^2=55(m)$

Khi vật chạm đất thì $y=0\Rightarrow 45+10\surd 2t-5t^2=0\Rightarrow t=4,73\left(s\right)$

Vậy sau 4,73s thì vật chạm đất

b. Tầm xa của vật $L=x=10\surd 2.4,73\approx 66,89\left(m\right)$

Vận tốc vật khi chạm đất $v=\sqrt{v_x^2+v_y^2}$

Với $v_y=10\surd 2-10.4,73=33,16(m/s)$

$\Rightarrow v=\surd \left(\right(10\surd 2{)}^2+33,〖16{〗}^2)=36,05(m/s)$

c. Khi vật có độ cao 50 thì

$y=50=45+10\surd 2t-5t^2\Rightarrow t_1=2,414\left(s\right);t_2=0,414\left(s\right)$

Lúc $t_1=2,414\left(s\right)\Rightarrow v_1=10\surd 2-10t_1=10\surd 2-10.2,414\approx -10(m/s)$

Lúc $t_2=0,414\left(s\right)\Rightarrow v_2=10\surd 2-10t_2=10\surd 2-10.0,414\approx 10(m/s)$

Ứng với hai trường hợp vật đi xuống đi lên

Chọn hệ quy chiếu Oxy như hình vẽ 

Thời điểm ban đầu

Chiếu lên trục ox có $x_0=0$

$v_{0x}=v_0\cos \alpha$

Chiếu lên trục oy có: $y_0=0$

$v_{0y}=v_0\sin \alpha$

Xét tại thời điểm t có $a_x=0;a_y=-g$

Chiếu lên trục ox có

$v_x=v_{0}cos\alpha ;x=v_0\cos \alpha t\Rightarrow t=\frac{x}{v_0.\cos \alpha }$

Chiếu lên trục oy có:

$v_y=v_0\sin \alpha -gt;y=v_0\sin \alpha t-\frac{1}{2}g{t}^2$

Khi chạm đất $y=0\Rightarrow v_0\sin \alpha t-\frac{1}{2}g{t}^2=0\Rightarrow t=\frac{2v_0\sin \alpha }{g}$

$\Rightarrow x=v_0\cos \alpha .\frac{2v_0.\sin \alpha }{g}=\frac{v_0^2.\sin 2\alpha }{g}$

Vậy $x_{\max }$  lớn nhất khi $\sin 2\alpha$ đạt max

 $\Rightarrow \sin 2\alpha =1\Rightarrow 2\alpha =\frac{\pi }{2}\Rightarrow \alpha =\frac{\pi }{4}\left(rad\right)$

b. Ta có tầm xa ưng với mỗi góc nghiêng

                $\left\{\begin{array}{l}{x}_{1\max }=\frac{v_0^2\sin 2\alpha }{g}\\ x_{2\max }=\frac{v_0^2\sin 2\left(\frac{\pi }{2}-\alpha \right)}{g}=\frac{v_0^2\sin \left(\pi -2\alpha \right)}{g}=\frac{v_0^2\sin 2\alpha }{g}\end{array}\right.$

Vậy $x_{1\max }=x_{2\max }$