Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' cạnh a. Xét tứ diện AB'CD'. Cắt tứ diện đó bằng mặt phẳng đi qua tâm của hình lập phương và song song với mặt phẳng (ABC). Tính diện tích của thiết diện thu được

Biết $\int f\left(x\right)dx=F\left(x\right)+C$. Khi đó khẳng định nào sau đây đúng?

Cho f(x) không âm thỏa mãn điều kiện $f\left(x\right).f\text{'}\left(x\right)=2x\sqrt{f^2\left(x\right)+1}$ và f(0)=0. Tổng giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số y = f(x) trên đoạn [1;3] là

Cho hình trụ có thiết diện qua trục là hình vuông cạnh bằng 4 cm. Diện tích toàn phần $S_{tp}$ của trụ là

Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho $A\left(4;1;5\right),B\left(3;0;1\right),C\left(-1;2;0\right)$. Biết điểm M thuộc mặt phẳng Oxy sao cho tổng $S=\overrightarrow{MA}.\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MB}.\overrightarrow{MC}+\overrightarrow{MC}.\overrightarrow{MA}$ đạt giá trị nhỏ nhất. Khi đó hoành độ của điểm M là

Cho a, b, c là các số thực thỏa mãn $2^a=3^b=6^{-c}$. Giá trị của biểu thức $T=ab+bc+ca$ bằng bao nhiêu

Cho số nguyên $n\ge 3$. Khai triển:

$$\begin{gathered} {\left(x-1\right)}^{2n}+x{\left(x+1\right)}^{2n-1}=a_0+a_{1}x+a_2{x}^2+ \\ \mathrm{...}+a_{2n}{x}^{2n} \end{gathered}$$
Biết rằng tổng $a_0+a_2+\mathrm{...}+a_{2n-2}+a_{2n}=768$. Tính $a_5$.

Cho x, y là các số thực thỏa mãn x > y > 0 và $2{\log }_2\left(x-y\right)={\log }_{2}x+{\log }_{2}y+2.$ Khi đó tỉ số $\frac{x}{y}$ bằng bao nhiêu?