Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, mặt bên SAB là tam giác đều, mặt bên SCD là tam giác vuông cân tại S. Gọi M là điểm thuộc đường thẳng CD sao cho BM vuông góc với SA. Tính thể tích V của khối chóp S.BDM.

Đáp án D.

Phương pháp: 

- Xác định chân đường cao của đỉnh S đến mặt phẳng đáy.

- Tính thể tích khối chóp: $V=\frac{1}{3}Sh$ 

Cách giải:

Gọi I, J lần lượt là trung điểm của AB, CD. 

Tam giác SAB đều, tam giác SCD cân tại S nên $SI\perp AB,SJ\perp CD$ 

Mà $AB//CD\Rightarrow AB,CD\perp \left(S\text{IJ}\right)$ 

Dựng $SH\perp IJ,\left(H\in IJ\right)\Rightarrow SH\perp \left(ABCD\right)$ (do $SH\perp IJ$ và $SH\subset \left(\text{SIJ}\right)\perp CD$)

Trong (ABCD), kẻ

$BM\perp AH,\left(M\in CD,AH\cap BM=T\right).$

Khi đó, điểm M thỏa mãn điều kiện đề bài.

+) $\Delta SAB$ đều, cạnh a $\Rightarrow SI=\frac{a\sqrt{3}}{2}$ 

+) $\Delta SCD$ vuông cân tại S,

$CD=a\Rightarrow SJ=\frac{CD}{2}=\frac{a}{2}$ 

+) ABCD là hình vuông cạnh a

$\Rightarrow \text{IJ}=a$ 

Tam giac SIJ có:

${\text{IJ}}^2=S{I}^2+S{J}^2\Rightarrow \Delta SIJ$ vuông tại S.

Mà

$$\begin{gathered} SH\perp \text{IJ}\Rightarrow {\text{SI}}^2=IH.\text{IJ} \\ \Rightarrow {\left(\frac{a\sqrt{3}}{2}\right)}^2=IH.a\Rightarrow IH=\frac{3a}{4} \end{gathered}$$ 

Và

$$\begin{gathered} \frac{1}{S{H}^2}=\frac{1}{S{I}^2}+\frac{1}{S{J}^2} \\ =\frac{1}{{\left(\frac{a\sqrt{3}}{2}\right)}^2}+\frac{1}{{\left(\frac{a}{2}\right)}^2}=\frac{16}{3a^2} \\ \Rightarrow SH=\frac{a\sqrt{3}}{4} \end{gathered}$$ 

Dễ dàng chứng minh $\Delta AIH$ đồng dạng tam giác

$$\begin{gathered} \Delta BCM\Rightarrow \frac{S_{AIH}}{S_{BMC}}={\left(\frac{AI}{BC}\right)}^2=\frac{1}{4} \\ \Rightarrow S_{BCM}=4S_{AIH}=4.\frac{1}{2}.\frac{a}{2}.\frac{3a}{4}=\frac{3a^2}{4} \end{gathered}$$ 

$$\begin{gathered} S_{BDM}=S_{BCM}-S_{BCD} \\ =\frac{3}{4}{a}^2-\frac{1}{2}{a}^2=\frac{a^2}{4} \end{gathered}$$ 

Thể tích khối chóp S.BDM:

$$\begin{gathered} V_{S.BDM}=\frac{1}{3}.SH.S_{BDM} \\ =\frac{1}{3}.\frac{a\sqrt{3}}{4}.\frac{a^2}{4}=\frac{\sqrt{3}{a}^3}{48} \end{gathered}$$