Cho hai đường thẳng: $\mathrm{d}:\frac{\mathrm{x}-1}{-1}=\frac{\mathrm{y}-2}{2}=\frac{\mathrm{z}}{3}$ và $\mathrm{d}\text{'}\left\{\begin{array}{c}\mathrm{x}=1+\mathrm{t}\text{'}\\ \mathrm{y}=3-2\mathrm{t}\text{'}\\ \mathrm{z}=1\end{array}\right.$ Lập phương trình đường vuông góc chung của d và d’.

Xét phương trình:

2(1 + 2t) + (t) + (−2 – 3t) – 1 = 0 ⇔ 2t – 1= 0 ⇔ t = 1/2

Vậy đường thẳng d cắt mặt phẳng ($\mathrm{\alpha }$) tại điểm M(2; 1/2; −7/2).

Ta có vecto pháp tuyến của mặt phẳng ($\mathrm{\alpha }$) và vecto chỉ phương của đường thẳng d lần lượt là $\overrightarrow{{\mathrm{n}}_{\mathrm{\alpha }}}$ = (2; 1; 1) và $\overrightarrow{{\mathrm{a}}_{\mathrm{d}}}$ = (2; 1; −3).

Gọi $\overrightarrow{{\mathrm{a}}_{∆}}$ là vecto pháp tuyến của Δ, ta có $\overrightarrow{{\mathrm{a}}_{∆}}$ $\perp$ $\overrightarrow{{\mathrm{n}}_{\mathrm{\alpha }}}$ và $\overrightarrow{{\mathrm{a}}_{∆}}$ $\perp$ $\overrightarrow{{\mathrm{a}}_{\mathrm{d}}}$

Suy ra $\overrightarrow{{\mathrm{a}}_{∆}}$ = $\overrightarrow{{\mathrm{n}}_{\mathrm{\alpha }}}$ $\wedge$ $\overrightarrow{{\mathrm{n}}_d}$ = (−4; 8; 0) hay $\overrightarrow{{\mathrm{a}}_{∆}}$ = (1; −2; 0)

Vậy phương trình tham số của $∆$ là 

Ta chọn hệ trục tọa độ sao cho: C là gốc tọa độ, $\overrightarrow{\mathrm{CD}}=\overrightarrow{ai}$; $\overrightarrow{\mathrm{CB}}=\overrightarrow{aj}$; $\overrightarrow{\mathrm{CC}\text{'}}=\overrightarrow{ak}$

Trong hệ tọa độ vừa chọn ta có: C(0; 0; 0), A’(a; a ; a), D(a; 0; 0), D’(a; 0; a)

$\overrightarrow{\mathrm{CA}\text{'}}$ = (a; a; a), $\overrightarrow{\mathrm{DD}\text{'}}$ = (0; 0; a)

Gọi ($\mathrm{\alpha }$) là mặt phẳng chứa $\overrightarrow{\mathrm{CA}\text{'}}$ và song song với $\overrightarrow{\mathrm{DD}\text{'}}$. Mặt phẳng ($\mathrm{\alpha }$) có vecto pháp tuyến là: $\overrightarrow{\mathrm{n}}$ = $\overrightarrow{\mathrm{CA}\text{'}}$ $\wedge$ $\overrightarrow{\mathrm{DD}\text{'}}$ = (${\mathrm{a}}^2$; −${\mathrm{a}}^2$; 0) hay x – y = 0

Phương trình tổng quát của ($\mathrm{\alpha }$) là x – y = 0.

Ta có:

d(CA′, DD′) = d(D,($\mathrm{\alpha }$)) = 

Vậy khoảng cách giữa hai đường thẳng CA’ và DD’ là