Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ có cạnh bằng a. Bằng phương pháp tọa độ hãy tính khoảng cách giữa hai đường thẳng CA’ và DD’.

Phương trình tham số của đường thẳng d: 

Vecto chỉ phương của hai đường thẳng d và d’lần lượt là $\overrightarrow{\mathrm{a}}$ = (−1; 2; 3), $\overrightarrow{\mathrm{a}\text{'}}$ = (1; −2; 0).

Xét điểm M(1 – t; 2 + 2t; 3t) trên d và điểm M’(1 + t’; 3 – 2t’; 1) trên d’ ta có $\overrightarrow{\mathrm{MM}\text{'}}$ = (t′ + t; 1 − 2t′ − 2t; 1 − 3t).

MM’ là đường vuông góc chung của d và d’.

Thay giá trị của t và t’ vào ta được tọa độ M và M’ là

Do đó MM'→ = 

Suy ra đường vuông góc chung Δ của d và d’ có vecto chỉ phương $\overrightarrow{\mathrm{u}}$ = (2; 1; 0)

Vậy phương trình tham số của $∆$ là: 

Xét phương trình:

2(1 + 2t) + (t) + (−2 – 3t) – 1 = 0 ⇔ 2t – 1= 0 ⇔ t = 1/2

Vậy đường thẳng d cắt mặt phẳng ($\mathrm{\alpha }$) tại điểm M(2; 1/2; −7/2).

Ta có vecto pháp tuyến của mặt phẳng ($\mathrm{\alpha }$) và vecto chỉ phương của đường thẳng d lần lượt là $\overrightarrow{{\mathrm{n}}_{\mathrm{\alpha }}}$ = (2; 1; 1) và $\overrightarrow{{\mathrm{a}}_{\mathrm{d}}}$ = (2; 1; −3).

Gọi $\overrightarrow{{\mathrm{a}}_{∆}}$ là vecto pháp tuyến của Δ, ta có $\overrightarrow{{\mathrm{a}}_{∆}}$ $\perp$ $\overrightarrow{{\mathrm{n}}_{\mathrm{\alpha }}}$ và $\overrightarrow{{\mathrm{a}}_{∆}}$ $\perp$ $\overrightarrow{{\mathrm{a}}_{\mathrm{d}}}$

Suy ra $\overrightarrow{{\mathrm{a}}_{∆}}$ = $\overrightarrow{{\mathrm{n}}_{\mathrm{\alpha }}}$ $\wedge$ $\overrightarrow{{\mathrm{n}}_d}$ = (−4; 8; 0) hay $\overrightarrow{{\mathrm{a}}_{∆}}$ = (1; −2; 0)

Vậy phương trình tham số của $∆$ là