Đề toán tổng hợp ôn tập cuối năm

Cho lăng trụ ABC.A'B'C'. Tính tỉ số: $\frac{{\mathrm{V}}_{\mathrm{ACA}\text{'}\mathrm{B}\text{'}}}{{\mathrm{V}}_{\mathrm{ABC}.\mathrm{A}\text{'}\mathrm{B}\text{'}\mathrm{C}\text{'}}}$

Cho lăng trụ ABC.A'B'C'. Tính ${\mathrm{V}}_{\mathrm{ACA}\text{'}\mathrm{B}\text{'}}$ biết rằng tam giác ABC là tam giác đều cạnh bằng a, AA' = b và AA' tạo với (ABC) một góc bằng 60$°$

Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AB và AD, H là giao điểm của MD và NC. Biết rằng SH là đường cao của hình chóp đã cho và cạnh SC tạo với đáy hình chóp đó một góc bằng 60$°$. Thể tích hình chóp S.CDNM

Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AB và AD, H là giao điểm của MD và NC. Biết rằng SH là đường cao của hình chóp đã cho và cạnh SC tạo với đáy hình chóp đó một góc bằng 60$°$. Tính khoảng cách giữa DM và SC.

Cho tứ diện ABCD có AD = BC = a, BD = CA = b, CD = AB = c. Chứng minh rằng các đường vuông góc chung của các cặp cạnh đối diện đồng quy và đôi một vuông góc với nhau

Cho tứ diện ABCD có AD = BC = a, BD = CA = b, CD = AB = c. Tính ${\mathrm{V}}_{\mathrm{ABCD}}$ theo a, b, c

Cho tứ diện ABCD có AD = BC = a, BD = CA = b, CD = AB = c. Chứng minh rằng tâm các mặt cầu nội tiếp và ngoại tiếp của tứ diện ABCD trùng nhau. Tính bán kính của các mặt cầu đó theo a, b, c.

Cho hình nón tròn xoay (H) đỉnh S, đáy là hình tròn bán kính R, chiều cao bằng h. Gọi (H') là hình trụ tròn xoay có đáy là hình tròn bán kính r (0 < r < R) nội tiếp (H). Tính tỉ số thể tích của (H') và (H)

Cho hình nón tròn xoay (H) đỉnh S, đáy là hình tròn bán kính R, chiều cao bằng h. Gọi (H') là hình trụ tròn xoay có đáy là hình tròn bán kính r (0 < r < R) nội tiếp (H). Xác định r để (H') có thể tích lớn nhất.

Cho ba điểm A(1; 2; 1), B(2; -1; 1), C(0; 3; 1) và đường thẳng d: $\frac{\mathrm{x}}{-3}=\frac{y}{-1}=\frac{z}{2}$

Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua A, song song với d, sao cho khoảng cách từ B đến (P) bằng khoảng cách từ C đến (P).

Cho ba điểm A(1; 2; 1), B(2; -1; 1), C(0; 3; 1) và đường thẳng d: $\frac{\mathrm{x}}{-3}=\frac{y}{-1}=\frac{z}{2}$

Tìm tập hợp những điểm cách đều ba điểm A, B, C.

Cho hai đường thẳng d, d' và M(2; -1; 0)

d: $\left\{\begin{array}{c}\mathrm{x}=3+\mathrm{t}\\ \mathrm{y}=1-\mathrm{t}\\ \mathrm{z}=2\mathrm{t}\end{array}\right.$ , d': $\left\{\begin{array}{c}\mathrm{x}=1+\mathrm{t}\text{'}\\ \mathrm{y}=2\mathrm{t}\text{'}\\ \mathrm{z}=-1+\mathrm{t}\text{'}\end{array}\right.$

Chứng minh rằng d và d' chéo nhau.

Cho hai đường thẳng d, d' và M(2; -1; 0)

d: $\left\{\begin{array}{c}\mathrm{x}=3+\mathrm{t}\\ \mathrm{y}=1-\mathrm{t}\\ \mathrm{z}=2\mathrm{t}\end{array}\right.$ , d': $\left\{\begin{array}{c}\mathrm{x}=1+\mathrm{t}\text{'}\\ \mathrm{y}=2\mathrm{t}\text{'}\\ \mathrm{z}=-1+\mathrm{t}\text{'}\end{array}\right.$

Tìm tọa độ điểm A trên d và điểm B trên d' để M, A, B thẳng hàng.

Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng (P): x + 2y - z + 5 = 0 và hai điểm A(-2; -1; 1), B(6; 6; 5). Trong các đường thẳng qua A và song song với (P) hãy viết phương trình đường thẳng mà khoảng cách từ B đến đường thẳng đó là nhỏ nhất.

Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu (S): ${\mathrm{x}}^2+{\mathrm{y}}^2+{\mathrm{z}}^2$ - 2x + 4y + 2z - 19 = 0 và mặt phẳng (P): x - 2y + 2z - 12 = 0. Chứng minh rằng (P) cắt (S) theo một đường tròn.

Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu (S): ${\mathrm{x}}^2+{\mathrm{y}}^2+{\mathrm{z}}^2$ - 2x + 4y + 2z - 19 = 0 và mặt phẳng (P): x - 2y + 2z - 12 = 0. Tìm tọa độ tâm và bán kính của đường tròn đó.

Hãy tìm tọa độ các đỉnh còn lại

Chứng minh A'C $\perp$ (BC'D)

Tìm tọa độ của chân đường vuông góc chung của B'D' và BC'.

Trong không gian Oxyz, cho S(0; 0; 2), A(0; 0; 0), B(1; 2; 0), C(0; 2; 0). Viết phương trình của mặt phẳng (P) qua A và vuông góc với SB