Đề toán tổng hợp chương 2

Cho tứ diện ABCD có AD $\perp$ (ABC) và BD $\perp$ BC. Khi quay tất cả các cạnh của tứ diện đó quanh cạnh AB có những hình nón nào được tạo thành ? Hãy kể tên các hình nón đó.

Cho lăng trụ tam giác đều ABC.A’B’C’ có cạnh đáy bằng a và có đường cao h. Một hình trụ có các đường tròn đáy tiếp xúc với các cạnh của tam giác đáy được gọi là hình trụ nội tiếp trong lăng trụ. Hãy tính diện tích xung quanh của hình trụ nội tiếp đó.

Cho lăng trụ tam giác đều ABC.A’B’C’ có cạnh đáy bằng a và có đường cao h. Gọi I là trung điểm của cạnh BC. Đường thẳng A’I cắt hình trụ nội tiếp nói trên theo một đoạn thẳng. Tính độ dài đoạn thẳng đó.

Cho hình chóp S.ABC và biết rằng có một mặt cầu tiếp xúc với tất cả các cạnh bên của hình chóp đồng thời tiếp xúc với ba cạnh của đáy tại trung điểm của mỗi cạnh đáy. Chứng minh hình chóp đó là hình chóp đều.

Trong mặt phẳng ($\mathrm{\alpha }$) , cho tam giác ABC vuông tại A có cạnh AC = a và có cạnh huyền BC = 2a. Cũng trong mặt phẳng ($\mathrm{\alpha }$) đó cho nửa đường tròn đường kính AB cắt cạnh BC tại M. Chứng minh rằng khi quay mặt phẳng ($\mathrm{\alpha }$) xung quanh trục AB có một mặt nón tròn xoay và một mặt cầu được tạo thành. Hãy xác định các mặt tròn xoay đó.

Trong mặt phẳng ($\mathrm{\alpha }$) , cho tam giác ABC vuông tại A có cạnh AC = a và có cạnh huyền BC = 2a. Cũng trong mặt phẳng ($\mathrm{\alpha }$) đó cho nửa đường tròn đường kính AB cắt cạnh BC tại M. Chứng minh rằng giao tuyến của hai mặt tròn xoay đó là một đường tròn. Hãy xác định bán kính của đường tròn đó.

Trong mặt phẳng ($\mathrm{\alpha }$) , cho tam giác ABC vuông tại A có cạnh AC = a và có cạnh huyền BC = 2a. Cũng trong mặt phẳng ($\mathrm{\alpha }$) đó cho nửa đường tròn đường kính AB cắt cạnh BC tại M. So sánh diện tích toàn phần của hình nón và diện tích của mặt cầu nói trên.

Cho hai đường thẳng $∆$ và $∆$′ chéo nhau nhận AA’ làm đoạn vuông góc chung, trong đó A thuộc $∆$ và A’ thuộc $∆$′ . Gọi (P) là mặt phẳng qua A vuông góc với $∆$′ và d là hình chiếu vuông góc của $∆$ trên mặt phẳng (P). Đặt AA’ = a, góc nhọn giữa $∆$ và d là $\mathrm{\alpha }$. Mặt phẳng (Q) song song với mặt phẳng (P) cắt $∆$ và $∆$′ lần lượt tại M và M’. Gọi ${\mathrm{M}}_1$ là hình chiếu vuông góc của M lên mặt phẳng (P).

Chứng minh 5 điểm A, A’, M, M’, ${\mathrm{M}}_1$ cùng nằm trên mặt cầu (S). xác định tâm O của (S). Tính bán kính của (S) theo a, $\mathrm{\alpha }$ và khoảng cách x giữa hai mặt phẳng (P) và (Q).

Cho hai đường thẳng $∆$ và $∆$′ chéo nhau nhận AA’ làm đoạn vuông góc chung, trong đó A thuộc $∆$ và A’ thuộc $∆$′ . Gọi (P) là mặt phẳng qua A vuông góc với $∆$′ và d là hình chiếu vuông góc của $∆$ trên mặt phẳng (P). Đặt AA’ = a, góc nhọn giữa $∆$ và d là $\mathrm{\alpha }$. Mặt phẳng (Q) song song với mặt phẳng (P) cắt $∆$ và $∆$′ lần lượt tại M và M’. Gọi ${\mathrm{M}}_1$ là hình chiếu vuông góc của M lên mặt phẳng (P).

Khi x thay đổi, tâm O của mặt cầu (S) di động trên đường nào? Chứng minh rằng khi (Q) thay đổi mặt cầu (S) luôn luôn đi qua một đường tròn cố định.

Cho tam giác vuông cân ABC có cạnh huyền AB = 2a. Trên đường thẳng d đi qua A và vuông góc với mặt phẳng (ABC), lấy một điểm S khác A, ta được tứ diện SABC. Xác định tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện SABC.

Cho tam giác vuông cân ABC có cạnh huyền AB = 2a. Trên đường thẳng d đi qua A và vuông góc với mặt phẳng (ABC), lấy một điểm S khác A, ta được tứ diện SABC. Tính bán kính của mặt cầu ngoại tiếp tứ diện SABC trong trường hợp mặt phẳng (SBC) tạo với mặt phẳng (ABC) một góc bằng 300.

Cho đường tròn tâm O bán kính r’. Xét hình chóp S.ABCD có SA vuông góc với mặt phẳng đáy, S và A cố định, SA = h cho trước và có đáy ABCD là một tứ giác tùy ý nội tiếp đường tròn đã cho, trong đó các đường chéo AC và BD vuông góc với nhau. Tính bán kính r của mặt cầu đi qua năm đỉnh của hình chóp

Cho đường tròn tâm O bán kính r’. Xét hình chóp S.ABCD có SA vuông góc với mặt phẳng đáy, S và A cố định, SA = h cho trước và có đáy ABCD là một tứ giác tùy ý nội tiếp đường tròn đã cho, trong đó các đường chéo AC và BD vuông góc với nhau. Hỏi đáy ABCD là hình gì để thể tích hình chóp đạt giá trị lớn nhất?

Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ cạnh a. Tính diện tích xung quanh của hình trụ có đường tròn hai đáy ngoại tiếp các hình vuông ABC.D và A’B’C’D’.

Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ cạnh a. Tính diện tích mặt cầu đi qua tất cả các đỉnh của hình lập phương.

Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ cạnh a. Tính diện tích xung quanh của hình nón tròn xoay nhận đường thẳng AC’ làm trục và sinh ra bởi cạnh AB.

Hình trụ tròn xoay có bán kính đáy bằng r, có chiều cao bằng 2r và có trục là OO’. Chứng minh rằng mặt cầu đường kính OO’ tiếp xúc với hai mặt đáy của hình trụ và tiếp xúc với tất cả các đường sinh của mặt trụ.

Hình trụ tròn xoay có bán kính đáy bằng r, có chiều cao bằng 2r và có trục là OO’. Cắt hình trụ bởi một mặt phẳng song song với trục OO’ và cách trục một khoảng bằng r/2. Tính diện tích thiết diện thu được.

Hình trụ tròn xoay có bán kính đáy bằng r, có chiều cao bằng 2r và có trục là OO’. Thiết diện nói trên cắt mặt cầu đường kính OO’ theo thiết diện là một đường tròn. Tính bán kính của đường tròn đó.