Bài 1: Khái niệm về khối đa diện

Xét 2 tứ diện A'ABD và CC'D'B'

Dùng phép đối xứng qua tâm O của hình hộp

Ta có:

A' đối xứng C qua O

A đối xứng C' qua O

B đối xứng D' qua O

D đối xứng B' qua O

Suy ra tứ diện A'ABD bằng tứ diện CC'D'B'.

Dùng phép tịnh tiến vectơ $\overrightarrow{\mathrm{AE}}$ biến lăng trụ ABC.EFG thành lăng trụ EFG.A’B’C .

Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD. Hai đường chéo AC, BD và hai đường thẳng nối trung điểm các cặp cạnh đối diện của hình vuông ABCD chia hình vuông ABCD thành tám tam giác bằng nhau. Xem mỗi tam giác đó là đáy của một hình chóp đỉnh S ta sẽ được tám hình chóp bằng nhau.

Cho tứ diện đều ABCD. Gọi G là giao điểm của các đường thẳng nối đỉnh với trọng tâm của mặt đối diện. Khi đó dễ thấy các tứ diện GABC, GBCD, GCDA, GDAB bằng nhau.

Gọi ${\mathrm{M}}_1$ là một mặt của hình đa diện (H). Gọi A, B, C là ba đỉnh liên tiếp của ${\mathrm{M}}_1$. Khi đó AB, BC là hai cạnh của (H). Gọi ${\mathrm{M}}_2$ là mặt khác với ${\mathrm{M}}_1$ và có chung cạnh AB với ${\mathrm{M}}_1$. Khi đó ${\mathrm{M}}_2$ còn có ít nhất một đỉnh D khác với A và B. Nếu D ≡ C thì ${\mathrm{M}}_1$ và ${\mathrm{M}}_2$ có hai cạnh chung AB và BC, điều này vô lý. Vậy D phải khác C. Do đó (H) có ít nhất bốn đỉnh A, B, C, D.