Cho lăng trụ ABC.A’B’C’. Gọi E, F, G lần lượt là trung điểm của AA’, BB’, CC’. Chứng minh rằng các lăng trụ ABC.EFG và EFG.A’B’C’ bằng nhau

Xét 2 tứ diện A'ABD và CC'D'B'

Dùng phép đối xứng qua tâm O của hình hộp

Ta có:

A' đối xứng C qua O

A đối xứng C' qua O

B đối xứng D' qua O

D đối xứng B' qua O

Suy ra tứ diện A'ABD bằng tứ diện CC'D'B'.

Gọi ${\mathrm{M}}_1$ là một mặt của hình đa diện (H). Gọi A, B, C là ba đỉnh liên tiếp của ${\mathrm{M}}_1$. Khi đó AB, BC là hai cạnh của (H). Gọi ${\mathrm{M}}_2$ là mặt khác với ${\mathrm{M}}_1$ và có chung cạnh AB với ${\mathrm{M}}_1$. Khi đó ${\mathrm{M}}_2$ còn có ít nhất một đỉnh D khác với A và B. Nếu D ≡ C thì ${\mathrm{M}}_1$ và ${\mathrm{M}}_2$ có hai cạnh chung AB và BC, điều này vô lý. Vậy D phải khác C. Do đó (H) có ít nhất bốn đỉnh A, B, C, D.