Bài 5: Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số

y′ = 3${\mathrm{x}}^2$ + 2(m + 3)x + m

y′ = 0 ⇔ 3${\mathrm{x}}^2$ + 2(m + 3)x + m = 0

Hàm số đạt cực trị tại x = 1 thì:

y′(1) = 3 + 2(m + 3) + m = 3m + 9 = 0 ⇔ m = −3

Khi đó,

y′ = 3${\mathrm{x}}^2$ – 3;

y′′ = 6x;

y′′(1) = 6 > 0;

Suy ra hàm số đạt cực tiểu tại x = 1 khi m = 3.

y′ = −(${\mathrm{m}}^2$ + 6m)${\mathrm{x}}^2$ − 4mx + 3

y′(−1) = −${\mathrm{m}}^2$ − 6m + 4m + 3 = (−${\mathrm{m}}^2$ − 2m – 1) + 4 = −${\left(\mathrm{m}+1\right)}^2$ + 4

Hàm số đạt cực trị tại x = -1 thì :

y′(−1) = −${\left(\mathrm{m}+1\right)}^2$ + 4 = 0 ⇔ ${\left(\mathrm{m}+1\right)}^2$ = 4

⇔ 

Với m = -3 ta có y’ = 9${\mathrm{x}}^2$ + 12x + 3

⇒ y′′ = 18x + 12

⇒ y′′(−1) = −18 + 12 = −6 < 0

Suy ra hàm số đạt cực đại tại x = -1.

Với m = 1 ta có:

y′ = −7${\mathrm{x}}^2$ − 4x + 3

⇒ y′′ = −14x − 4

⇒ y′′(−1) = 10 > 0

Suy ra hàm số đạt cực tiểu tại x = -1

Kết luận: Hàm số đã cho đạt cực đại tại x = -1 khi m = -3.

y' = 4(m - 1)${\mathrm{x}}^3$ - 2mx = 2x[2(m - 1)${\mathrm{x}}^2$ - m]

Hàm số có đúng một cực trị khi y' = 0 có đúng một nghiệm, tức là

2x[2(m - 1)${\mathrm{x}}^2$ - m] = 0 chỉ có nghiệm x = 0

Muốn vậy, phải có m = 1 hoặc 

⇒ 0 $\le$ m $\le$1.

Vậy với 0 $\le$ m $\le$ 1 hàm số đã cho có một cực trị duy nhất.

Tập xác định: D = R;

y′= 0 ⇔ 

Hàm số đồng biến trên mỗi khoảng (–$\infty$; 0), (4; +$\infty$).

Hàm số nghịch biến trên mỗi khoảng (0; 4).

Hàm số đạt cực đại tại x = 0, ${\mathrm{y}}_{\mathrm{CĐ}}$ = 5. Hàm số đạt cực tiểu tại x = 4, ${\mathrm{y}}_{\mathrm{CT}}$ = -3.

Đồ thị đi qua A(-2; -3); B(6;5).

${\mathrm{x}}^3$ – 6${\mathrm{x}}^2$ + m = 0

⇔ ${\mathrm{x}}^3$ – 6${\mathrm{x}}^2$ = –m (1)

Số nghiệm thực phân biệt của phương trình (1) bằng số giao điểm phân biệt của đồ thị (C)

và đường thẳng 

Suy ra (1) có 3 nghiệm thực phân biệt khi và chỉ khi:

Tịnh tiến (C) song song với trục Ox sang trái 1 đơn vị, ta được đồ thị (C1) của hàm số.

y = f(x) = −${\left(\mathrm{x}+1\right)}^3$ + 3(x + 1) + 1 hay f(x) = −${\left(\mathrm{x}+1\right)}^3$ + 3x + 4 (${\mathrm{C}}_1$)

Lấy đối xứng (${\mathrm{C}}_1$) qua trục Ox, ta được đồ thị (C’) của hàm số y = g(x) = ${\left(\mathrm{x}+1\right)}^3$ − 3x – 4

Ta có: ${\left(\mathrm{x}+1\right)}^3$ = 3x + m (1)

⇔ ${\left(\mathrm{x}+1\right)}^3$ − 3x – 4 = m – 4

Số nghiệm của phương trình (1) là số giao điểm của hai đường :

y = g(x) = ${\left(\mathrm{x}+1\right)}^3$ − 3x – 4 (C’) và y = m – 4 (${\mathrm{d}}_1$)

Từ đồ thị, ta suy ra:

    +) m > 5 hoặc m < 1: phương trình (1) có một nghiệm.

    +) m = 5 hoặc m = 1 : phương trình (1) có hai nghiệm.

    +) 1 < m < 5 , phương trình (1) có ba nghiệm.