Câu hỏi:

12/07/2024 459

Cho hai đường thẳng $∆$ và $∆$ ′ chéo nhau nhận AA’ làm đoạn vuông góc chung, trong đó A thuộc $∆$ và A’ thuộc $∆$ ′ . Gọi (P) là mặt phẳng qua A vuông góc với $∆$ ′ và d là hình chiếu vuông góc của $∆$ trên mặt phẳng (P). Đặt AA’ = a, góc nhọn giữa $∆$ và d là $α$ . Mặt phẳng (Q) song song với mặt phẳng (P) cắt $∆$ và $∆$ ′ lần lượt tại M và M’. Gọi $M_{1}$ là hình chiếu vuông góc của M lên mặt phẳng (P).
Chứng minh 5 điểm A, A’, M, M’, $M_{1}$ cùng nằm trên mặt cầu (S). xác định tâm O của (S). Tính bán kính của (S) theo a, $α$ và khoảng cách x giữa hai mặt phẳng (P) và (Q).

Xem lời giải

Câu hỏi trong đề: Giải SBT Toán 12 Đề toán tổng hợp chương 2 !!

Giao bài

Quảng cáo

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

Giải sách bài tập Toán 12 | Giải sbt Toán 12

Vì mặt phẳng (P) qua A và vuông góc với Δ′ nên AA’ thuộc (P). Vì M thuộc $∆$ mà d là hình chiếu vuông góc của $∆$ trên (P) nên $M_{1}$ thuộc d. Vì MA $⊥$ AA′ ⇒ $M_{1}$ A $⊥$ AA′

Mặt khác $M_{1}$ A $⊥$ M′A′ nên ta suy ra $M_{1}$ A $⊥$ (AA′M′). Do đó $M_{1}$ A $⊥$ M′A và điểm A thuộc mặt cầu đường kính M’ $M_{1}$

Ta có M′A′ $⊥$ (P) nên M′A′ $⊥$ A′ $M_{1}$ , ta suy ra điểm A’ cũng thuộc mặt cầu đường kính M’ $M_{1}$

Ta có (Q) // (P) nên ta suy ra

M $M_{1}$ ⊥ (Q) mà MM’ thuộc (Q), do đó $M_{1}$ M $⊥$ MM′

Như vậy 5 điểm A, A’, M, M’, $M_{1}$ cùng thuộc mặt cầu (S) có đường kính M’ $M_{1}$ . Tâm O của mặt cầu (S) là trung điểm của đoạn M’ $M_{1}$

Ta có $M' {M_{1}}^{2} = M' A'^{2} + A' {M_{1}}^{2}$ = $M' A'^{2} + A' A^{2} + {AM}_{1}^{2} = x^{2} + a^{2} + x^{2} \cot^{2} α$ vì M $M_{1}$ = x

Giải sách bài tập Toán 12 | Giải sbt Toán 12

Bán kính r của mặt cầu (S) bằng (M′ $M_{1}$ )/2 nên

Giải sách bài tập Toán 12 | Giải sbt Toán 12

Đang tải chế độ Học...

Hot: 1000+ đề thi cuối kì 1 lớp 1-12 đầy đủ các môn (Update 2026) (chỉ từ 60k). Tải ngay

Dành cho bạn Hot

Lớp 12 Toán

188 người thi tuần này

7881 câu Trắc nghiệm tổng hợp môn Toán 2023 cực hay có đáp án ( Phần 1)

304 câu 139.9 K lượt thi Thi ngay →

Lớp 12 Vật lý

197 người thi tuần này

Trắc nghiệm Mô hình động học phân tử chất khí lớp 12 (có đáp án)

15 câu 1.8 K lượt thi Thi ngay →

Lớp 12 Tiếng Anh

137 người thi tuần này

Đề cương ôn tập giữa kì 1 Tiếng Anh 12 Global Success có đáp án

45 câu 1.3 K lượt thi Thi ngay →

Lớp 12 Sinh học

144 người thi tuần này

10 câu trắc nghiệm Sinh học 12 Kết nối tri thức Bài 8 có đáp án

10 câu 1.9 K lượt thi Thi ngay →

Lớp 12 Lịch sử

2,390 người thi tuần này

20 câu trắc nghiệm Lịch sử 12 Kết nối tri thức Bài 1 có đáp án

20 câu 22.4 K lượt thi Thi ngay →

Lớp 12 Địa lý

405 người thi tuần này

20 câu Trắc nghiệm Địa lý 12 Kết nối tri thức Bài 2 có đáp án

25 câu 6 K lượt thi Thi ngay →

Lớp 12 Tin học

610 người thi tuần này

15 câu Trắc nghiệm Tin học 12 Kết nối tri thức có đáp án

15 câu 13.2 K lượt thi Thi ngay →

Lớp 12 Giáo dục Kinh tế và Pháp luật

710 người thi tuần này

15 Câu trắc nghiệm KTPL 12 Kết nối tri thức Bài 1 có đáp án

15 câu 8.9 K lượt thi Thi ngay →

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1

Cho tứ diện ABCD có AD $⊥$ (ABC) và BD $⊥$ BC. Khi quay tất cả các cạnh của tứ diện đó quanh cạnh AB có những hình nón nào được tạo thành ? Hãy kể tên các hình nón đó.

Xem đáp án

Lời giải

Giải sách bài tập Toán 12 | Giải sbt Toán 12

Tứ diện ABCD có $∠$ BAD = 90 $°$ nên $∠$ ABD = $α$ là một góc nhọn. Khi quay các cạnh của tứ diện đó xung quanh cạnh AB thì cạnh BD tạo thành một hình nón tròn xoay đỉnh B có trục là AB, cạnh AD vuông góc với AB tạo thành đáy của hình nón đó.

Mặt khác theo giả thiết ta có BD $⊥$ BC nên AB $⊥$ BC. Ta có $∠$ BAC = $β$ là một góc nhọn. Do đó khi quay các cạnh của tứ diện xung quanh cạnh AB thì cạnh AC tạo thành một hình nón tròn xoay đỉnh A có trục là AB, còn cạnh BC tạo thành đáy của hình nón.

Như vậy khi quay tất cả các cạnh của tứ diện xung quanh trục AB thì các cạnh BD và AC tạo thành hai hình nón.

Câu 2

Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ cạnh a. Tính diện tích mặt cầu đi qua tất cả các đỉnh của hình lập phương.

Xem đáp án

Lời giải

Giải sách bài tập Toán 12 | Giải sbt Toán 12

Gọi I là tâm của hình lập phương. Tất cả các đỉnh của hình lập phương đều có khoảng cách đến I bằng Giải sách bài tập Toán 12 | Giải sbt Toán 12 nên chúng nằm trên mặt cầu tâm I bán kính

Ta có diện tích mặt cầu đó là $S = 4 {πr}^{2} = 3 {πa}^{2}$

Câu 3