Cho hai đường thẳng $∆$ và $∆$′ chéo nhau nhận AA’ làm đoạn vuông góc chung, trong đó A thuộc $∆$ và A’ thuộc $∆$′ . Gọi (P) là mặt phẳng qua A vuông góc với $∆$′ và d là hình chiếu vuông góc của $∆$ trên mặt phẳng (P). Đặt AA’ = a, góc nhọn giữa $∆$ và d là $\mathrm{\alpha }$. Mặt phẳng (Q) song song với mặt phẳng (P) cắt $∆$ và $∆$′ lần lượt tại M và M’. Gọi ${\mathrm{M}}_1$ là hình chiếu vuông góc của M lên mặt phẳng (P).

Chứng minh 5 điểm A, A’, M, M’, ${\mathrm{M}}_1$ cùng nằm trên mặt cầu (S). xác định tâm O của (S). Tính bán kính của (S) theo a, $\mathrm{\alpha }$ và khoảng cách x giữa hai mặt phẳng (P) và (Q).

Cho tứ diện ABCD có AD $\perp$ (ABC) và BD $\perp$ BC. Khi quay tất cả các cạnh của tứ diện đó quanh cạnh AB có những hình nón nào được tạo thành ? Hãy kể tên các hình nón đó.

Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ cạnh a. Tính diện tích mặt cầu đi qua tất cả các đỉnh của hình lập phương.

Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ cạnh a. Tính diện tích xung quanh của hình nón tròn xoay nhận đường thẳng AC’ làm trục và sinh ra bởi cạnh AB.

Cho tam giác vuông cân ABC có cạnh huyền AB = 2a. Trên đường thẳng d đi qua A và vuông góc với mặt phẳng (ABC), lấy một điểm S khác A, ta được tứ diện SABC. Xác định tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện SABC.

Cho lăng trụ tam giác đều ABC.A’B’C’ có cạnh đáy bằng a và có đường cao h. Một hình trụ có các đường tròn đáy tiếp xúc với các cạnh của tam giác đáy được gọi là hình trụ nội tiếp trong lăng trụ. Hãy tính diện tích xung quanh của hình trụ nội tiếp đó.

Cho hình chóp S.ABC và biết rằng có một mặt cầu tiếp xúc với tất cả các cạnh bên của hình chóp đồng thời tiếp xúc với ba cạnh của đáy tại trung điểm của mỗi cạnh đáy. Chứng minh hình chóp đó là hình chóp đều.

Cho tam giác vuông cân ABC có cạnh huyền AB = 2a. Trên đường thẳng d đi qua A và vuông góc với mặt phẳng (ABC), lấy một điểm S khác A, ta được tứ diện SABC. Tính bán kính của mặt cầu ngoại tiếp tứ diện SABC trong trường hợp mặt phẳng (SBC) tạo với mặt phẳng (ABC) một góc bằng 300.