Cho mặt phẳng ($\mathrm{\alpha }$) : 2x + y + z – 1 = 0 và đường thẳng d: $\frac{\mathrm{x}-1}{2}=\frac{y}{1}=\frac{z+1}{-3}$

Gọi M là giao điểm của d và ($\mathrm{\alpha }$), hãy viết phương trình của đường thẳng $∆$ đi qua M vuông góc với d và nằm trong ($\mathrm{\alpha }$)

Phương trình tham số của đường thẳng d: 

Vecto chỉ phương của hai đường thẳng d và d’lần lượt là $\overrightarrow{\mathrm{a}}$ = (−1; 2; 3), $\overrightarrow{\mathrm{a}\text{'}}$ = (1; −2; 0).

Xét điểm M(1 – t; 2 + 2t; 3t) trên d và điểm M’(1 + t’; 3 – 2t’; 1) trên d’ ta có $\overrightarrow{\mathrm{MM}\text{'}}$ = (t′ + t; 1 − 2t′ − 2t; 1 − 3t).

MM’ là đường vuông góc chung của d và d’.

Thay giá trị của t và t’ vào ta được tọa độ M và M’ là

Do đó MM'→ = 

Suy ra đường vuông góc chung Δ của d và d’ có vecto chỉ phương $\overrightarrow{\mathrm{u}}$ = (2; 1; 0)

Vậy phương trình tham số của $∆$ là: 

Ta chọn hệ trục tọa độ sao cho: C là gốc tọa độ, $\overrightarrow{\mathrm{CD}}=\overrightarrow{ai}$; $\overrightarrow{\mathrm{CB}}=\overrightarrow{aj}$; $\overrightarrow{\mathrm{CC}\text{'}}=\overrightarrow{ak}$

Trong hệ tọa độ vừa chọn ta có: C(0; 0; 0), A’(a; a ; a), D(a; 0; 0), D’(a; 0; a)

$\overrightarrow{\mathrm{CA}\text{'}}$ = (a; a; a), $\overrightarrow{\mathrm{DD}\text{'}}$ = (0; 0; a)

Gọi ($\mathrm{\alpha }$) là mặt phẳng chứa $\overrightarrow{\mathrm{CA}\text{'}}$ và song song với $\overrightarrow{\mathrm{DD}\text{'}}$. Mặt phẳng ($\mathrm{\alpha }$) có vecto pháp tuyến là: $\overrightarrow{\mathrm{n}}$ = $\overrightarrow{\mathrm{CA}\text{'}}$ $\wedge$ $\overrightarrow{\mathrm{DD}\text{'}}$ = (${\mathrm{a}}^2$; −${\mathrm{a}}^2$; 0) hay x – y = 0

Phương trình tổng quát của ($\mathrm{\alpha }$) là x – y = 0.

Ta có:

d(CA′, DD′) = d(D,($\mathrm{\alpha }$)) = 

Vậy khoảng cách giữa hai đường thẳng CA’ và DD’ là