Cho đa thức $f\left(x\right)={\left(1+3x\right)}^n=a_0+a_{1}x+a_2{x}^2+\mathrm{...}+a_n{x}^n\left(n\in N^{*}\right).$ Tìm hệ số $a_3$ biết rằng $a_1+2a_2+\mathrm{...}+n{a}_n=49152n.$ 

Cho hàm số f(x) có đạo hàm trên R là $f\text{'}\left(x\right)=\left(x-1\right)\left(x+3\right).$ Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m thuộc đoạn [-10;20] để hàm số $y=f\left(x^2+3x-m\right)$ đồng biến trên khoảng (0;2)?

Gieo đồng thời hai con súc sắc cân đối và đồng chất. Tính xác suất P để hiệu số chấm trên các mặt xuất hiện của hai con súc sắc bằng 2.

Gọi T là tổng các nghiệm của phương trình ${\log }_{\frac{1}{3}}^{2}x-{\log }_{3}x+4=0.$ Tính T.

Tìm số giá trị nguyên thuộc đoạn [-2019;2019] của tham số m để đồ thị hàm số $y=\frac{\sqrt{x-3}}{x^2+x-m}$ có đúng hai đường tiệm cận.   

Tìm tất cả các giá trị của tham số m để phương trình $\frac{1}{3}\left|{\cos }^{3}x\right|-3{\cos }^{2}x+5\left|\cos x\right|-3+2m=0$ 

có đúng bốn nghiệm phân biệt thuộc đoạn $\left[0;2\pi \right].$

Tính tổng T của các giá trị nguyên của tham số m để phương trình $e^x+\left(m^2-m\right)e^{-x}=2m$ có đúng hai nghiệm phân biệt nhỏ hơn $\frac{1}{\log e}.$

Cho hàm số $y=\frac{1}{3}{x}^3-2m{x}^2+\left(m-1\right)x+2m^2+1$ (m là tham số). Xác định khoảng cách lớn nhất từ gốc tọa độ O(0;0) đến đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số trên.