Cho dãy số $\left(a_n\right)$ thỏa mãn $a_1=1$ và $5^{a_{n+1}-a_n}-1=\frac{3}{3n+2}$ với mọi $n\ge 1$ Tìm số nguyên dương $n>1$ nhỏ nhất để $a_n$ là một số nguyên.

Có bao nhiêu số nguyên m để phương trình $\ln \left(m+2 \sin x+\ln \left(m+3 \sin x\right)\right)=\sin x$ có nghiệm thực ?

Có bao nhiêu số phức z thoả mãn $\left|\mathrm{z}-3\mathrm{i}\right|=\sqrt{5}$ và $\frac{\mathrm{z}}{\mathrm{z}-4}$l à số thuần ảo ?

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng $d_1=\frac{x-1}{1}=\frac{y-1}{1}=\frac{z+1}{1}$ và $d_2=\frac{x+1}{2}=\frac{y-1}{-1}=\frac{z}{2}$ Đường thẳng qua điểm $M\left(1;1;1\right)$ và cắt d₁, d₂ lần lượt tại A, B. Tính tỉ số $\frac{MA}{MB}$

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho 3 điểm $A\left(a;0;0\right)$, $B\left(1;b;0\right)$,$C\left(1;0;c\right)$ với a,b,c là các số thực thay đổi sao cho $H\left(3;2;1\right)$ là trực tâm của tam giác ABC. Tính $A\left(-1;-1;1\right)$

Có bao nhiêu số nguyên dương m để hàm số $y=\frac{2}{3}{x}^3-\left(2m+9\right)x^2+2\left(m^2+9m\right)x+10$ nghịch biến trên khoảng $\left(3;6\right)$

Gọi $\left(H\right)$ là hình phẳng được giới hạn bởi các đồ thị hàm số $y=2x, y=\frac{1-x}{x}, y-0$ (phần tô đậm màu đen ở hình vẽ bên). Thể tích của vật thể tròn xoay tạo thành khi quay $\left(H\right)$ quanh trục hoành bằng

Cho hàm số $y=f\left(x\right)$ có bảng biến thiên như hình vẽ dưới đây