Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm $A\left(3;1;3\right)$, mặt phẳng $\left(P\right): \mathrm{x}+y+z-7=0$ và đường thẳng $\left(d\right):\frac{x-1}{2}=\frac{y}{1}=\frac{z}{3}$. Mặt cầu (S) có tâm $I\left(a;b;c\right)$ thuộc $\left(P\right)$, bán kính $R=\sqrt{6}$ và tiếp xúc với $\left(d\right)$ tại A với a,b,c là các số thực dương. Giá trị của biểu thức $a+2b+3c$ bằng

Cho dãy số $\left(u_n\right)$ xác định bởi $u_1=5,u_{n+1}^{n+1}=u_n^n+2^n+2.3^n$ với mọi $n\ge 1$. Tìm số nguyên nhỏ nhất thỏa mãn $u_n^n-2^n>5^{100}$

Cho hình hộp $ABCD.A\text{'}B\text{'}C\text{'}D\text{'}$ có tất cả các mặt là hình thoi và các góc đỉnh A bằng ${60}^{°}$(tham khảo hình vẽ bên). Góc giữa hai đường thẳng BD và A′C bằng

Số chỉnh hợp chập 3 của 10 phần tử bằng

Có bao nhiêu số nguyên m để phương trình $m+\sin \left(m+\sin 3x\right)=\sin x\left(3\sin x\right)+4{\sin }^{3}x$ có nghiệm thực.

Chọn ngẫu nhiên ba số từ tập $A=\left\{1,2,3,..,100\right\}$. Xác suất để chọn được ba số mà các số đó lập thành một cấp số nhân tăng có công bội là một số nguyên dương bằng

Cho phương trình ${\mathrm{z}}^2+\mathrm{bz}+\mathrm{c}=0 \left(\mathrm{b},\mathrm{c}\in \mathrm{ℝ}\right)$ có một nghiệm phức $\mathrm{z}=3-2\mathrm{i}$. Nghiệm phức còn lại của phương trình là

Cho hình trụ $\left(T\right)$có MN , PQ vuông góc với nhau lần lượt là hai đường kinh nằm trên hai đường tròn đáy của hình trụ. Thể tích khối tứ diện MNPQ bằng 10. Tính thể tích của khối trụ $\left(T\right)$.