Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm $A\left(3;1;3\right)$, mặt phẳng $\left(P\right): \mathrm{x}+y+z-7=0$ và đường thẳng $\left(d\right):\frac{x-1}{2}=\frac{y}{1}=\frac{z}{3}$. Mặt cầu (S) có tâm $I\left(a;b;c\right)$ thuộc $\left(P\right)$, bán kính $R=\sqrt{6}$ và tiếp xúc với $\left(d\right)$ tại A với a,b,c là các số thực dương. Giá trị của biểu thức $a+2b+3c$ bằng

Cho dãy số $\left(u_n\right)$ xác định bởi $u_1=5,u_{n+1}^{n+1}=u_n^n+2^n+2.3^n$ với mọi $n\ge 1$. Tìm số nguyên nhỏ nhất thỏa mãn $u_n^n-2^n>5^{100}$

Cho hình hộp $ABCD.A\text{'}B\text{'}C\text{'}D\text{'}$ có tất cả các mặt là hình thoi và các góc đỉnh A bằng ${60}^{°}$(tham khảo hình vẽ bên). Góc giữa hai đường thẳng BD và A′C bằng

Số chỉnh hợp chập 3 của 10 phần tử bằng

Có bao nhiêu số nguyên m để phương trình $m+\sin \left(m+\sin 3x\right)=\sin x\left(3\sin x\right)+4{\sin }^{3}x$ có nghiệm thực.

Chọn ngẫu nhiên ba số từ tập $A=\left\{1,2,3,..,100\right\}$. Xác suất để chọn được ba số mà các số đó lập thành một cấp số nhân tăng có công bội là một số nguyên dương bằng

Cho phương trình ${\mathrm{z}}^2+\mathrm{bz}+\mathrm{c}=0 \left(\mathrm{b},\mathrm{c}\in \mathrm{ℝ}\right)$ có một nghiệm phức $\mathrm{z}=3-2\mathrm{i}$. Nghiệm phức còn lại của phương trình là

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho bốn điểm $A\left(1;2;1\right)$, $B\left(-2;1;3\right)$,$C\left(2;-1;3\right)$. Mặt phẳng $\left(P\right): a\mathrm{x}+\mathrm{b}y+cz-10=0$ đi qua hai điểm A, B và cách đều hai điểm C, D và hai điểm C, D nằm khác phía so với mặt phẳng $\left(P\right)$. Tính $S=a+b+c$.