Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho bốn đường thẳng có phương trình $d_1:\frac{x-1}{1}=\frac{y-2}{2}=\frac{z}{-2}$, , $d_2:\frac{x-2}{2}=\frac{y-2}{4}=\frac{z}{-4}$, $d_3:\frac{x}{2}=\frac{y}{1}=\frac{z-1}{1}$, $d_4:\frac{x-2}{2}=\frac{y}{2}=\frac{z-1}{-1}$. Biết rằng đường thẳng $∆$ có véctơ chỉ phương $\stackrel{\rightharpoonup }{u}=\left(2;b;c\right)$ cắt cả bốn đường thẳng đã cho. Giá trị của biểu thức $2a+3b$ bằng

Cho dãy số $\left(u_n\right)$ xác định bởi $u_1=5,u_{n+1}^{n+1}=u_n^n+2^n+2.3^n$ với mọi $n\ge 1$. Tìm số nguyên nhỏ nhất thỏa mãn $u_n^n-2^n>5^{100}$

Cho hình hộp $ABCD.A\text{'}B\text{'}C\text{'}D\text{'}$ có tất cả các mặt là hình thoi và các góc đỉnh A bằng ${60}^{°}$(tham khảo hình vẽ bên). Góc giữa hai đường thẳng BD và A′C bằng

Số chỉnh hợp chập 3 của 10 phần tử bằng

Có bao nhiêu số nguyên m để phương trình $m+\sin \left(m+\sin 3x\right)=\sin x\left(3\sin x\right)+4{\sin }^{3}x$ có nghiệm thực.

Chọn ngẫu nhiên ba số từ tập $A=\left\{1,2,3,..,100\right\}$. Xác suất để chọn được ba số mà các số đó lập thành một cấp số nhân tăng có công bội là một số nguyên dương bằng

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho bốn điểm $A\left(1;2;1\right)$, $B\left(-2;1;3\right)$,$C\left(2;-1;3\right)$. Mặt phẳng $\left(P\right): a\mathrm{x}+\mathrm{b}y+cz-10=0$ đi qua hai điểm A, B và cách đều hai điểm C, D và hai điểm C, D nằm khác phía so với mặt phẳng $\left(P\right)$. Tính $S=a+b+c$.

Cho phương trình ${\mathrm{z}}^2+\mathrm{bz}+\mathrm{c}=0 \left(\mathrm{b},\mathrm{c}\in \mathrm{ℝ}\right)$ có một nghiệm phức $\mathrm{z}=3-2\mathrm{i}$. Nghiệm phức còn lại của phương trình là