Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho hai điểm $A\left(1;2;3\right)$, $B\left(3;4;5\right)$ và mặt phẳng $\left(\alpha \right): \mathrm{x}+2y+3z-14=0$ Gọi Δ là đường thẳng thay đổi nằm trong mặt phẳng (α), các điểm M,N lần lượt là hình chiếu vuông góc của A,B trên Δ. Biết rằng khi AM = BN thì trung điểm của MN luôn thuộc một đường thẳng cố định. Viết phương trình đường thẳng cố định đó.

Cho các số thực dương $a_1, a_2,a_3,a_4, a_5$ theo thứ tự lập thành cấp số cộng và các số thực dương $b_1,b_2,b_3,b_4,b_5$ theo thứ tự lập thành cấp số nhân. Biết rằng $a_1=b_1$ và $a_5=\frac{176}{17}{b}_5$ Giá trị nhỏ nhất của biểu thức $\frac{a_2+a_3+a_4}{b_2+b_3+b_4}$ bằng

Có bao nhiêu số nguyên $m<10$ để hàm số $\mathrm{y}=\left|x^3-mx+1\right|$ có 5 điểm cực trị.

Một quan sát viên C đứng cách đường đua Ot một khoảng $OC=1km\left(OC\perp Ot\right)$ Hai vận động viên A,B xuất phát tại O và chạy cùng lúc (sang phải, như hình vẽ) trên đường đua. Góc $\theta =\overbrace{ACB}$ được gọi là góc nhìn từ C đến hai vận động viên. Giả sử B luôn chạy nhanh hơn A bốn lần. Khi góc nhìn từ C đến hai vận động viên lớn nhất, tính độ dài đoạn AB.

Cho hàm số $\mathrm{y}=\frac{1}{2}{\mathrm{x}}^4-x^3-6{\mathrm{x}}^2+7$ có đồ thị (C). Số giá trị nguyên của tham số m để có ba tiếp tuyến của (C) song song với đường thẳng d: y = mx là

Cho hai số thực dương x, y thoả mãn $3\sin x+\sqrt{15\sin x\sin y}+5\sin y$$=7\sin \left(x+y\right)$ và $x+y<\mathrm{\pi }$ Giá trị nhỏ nhất của x + y bằng

Hàm số nào dưới đây đồng biến trên $\mathrm{ℝ}$ ?

Đồ thị của hàm số nào dưới đây có tiệm cận đứng ?