Xét các tam giác ABC nhọn nội tiếp đường tròn (O;R). Gọi $V_1,V_2$  và $V_3$ lần lượt là thể tích của các khối tròn xoay sinh ra khi quay tam giác OCA quanh trung trực của đoạn thẳng CA, quay tam giác OAB quanh trung trực của đoạn thẳng AB và quay tam giác OBC quanh trung trực của đoạn thẳng BC. Tính $V_3$ theo R khi biểu thức $V_1+V_2$ đạt giá trị lớn nhất.

Cho hàm số $f\left(x\right)=\frac{2x-m}{x+1}$, với $m\ne -2$. Mệnh đề nào dưới đây là sai?

Giả sử một hình thang cong giới hạn bởi đồ thị hàm số y=f(x), trục Ox và hai đường thẳng x=a và x=b (a<b) quay xung quanh trục Ox tạo thành một khối tròn xoay. Viết công thức tính thể tích V của khối tròn xoay đó.

Cho khối trụ có bán kính đáy bằng r và chiều cao bằng h. Cắt khối trụ bằng mặt phẳng (P) song song với trục và cách trục một khoảng bằng $\frac{r\sqrt{2}}{2}$. Mặt phẳng (P) chia khối trụ thành hai phần. Gọi $V_1$ là thể tích của phần chứa tâm của đường tròn đáy và $V_2$ thể tích của phần không chứa tâm của đường tròn đáy, tính tỉ số $\frac{V_1}{V_2}$.

Tính đạo hàm của hàm số $y=\left(2x-1\right)\sqrt{4x+3}$

Tìm số hạng chính giữa trong khai triển của ${\left(5x+2y\right)}^4$

Tìm tiệm cận đứng của đồ thị hàm số $y=\frac{3x+1}{2x-1}$.

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hình lăng trụ đứng $ABC.A\text{'}B\text{'}C\text{'}$ có $A\left(x_0;0;0\right)$, $B\left(-x_0;0;0\right)$, $C\left(0;1;0\right)$ và $B\text{'}\left(-x_0;0;y_0\right)$, trong đó $x_0;y_0$ là các số thực dương và thỏa mãn $x_0+y_0=4$ . Khi khoảng cách giữa hai đường thẳng AC' và B'C lớn nhất thì bán kính R của mặt cầu ngoại tiếp hình lăng trụ $ABC.A\text{'}B\text{'}C\text{'}$ bằng bao nhiêu?