Cho hàm số f(x) liên tục trên đoạn [0;1] thoả mãn với mọi $x,y,\alpha ,\beta \in [0;1]$ và ${\alpha }^2+{\beta }^2>0$ ta có $\alpha f\left(x\right)+\beta f\left(y\right)$$\ge (\alpha +\beta )f\left(\frac{\alpha x+\beta y}{\alpha +\beta }\right)$. Biết f(0)=0, ${\int }_0^{\frac{1}{2}}f\left(x\right)dx=2$. Giá trị nhỏ nhất của tích phân ${\int }_0^{1}f\left(x\right)dx$ bằng

Một người gửi 50 triệu đồng vào một ngân hàng với lãi suất 6%/năm. Biết rằng nếu không rút tiền ra khỏi ngân hàng thì cứ sau mỗi năm số tiền lãi sẽ được nhập vào gốc để tính lãi cho năm tiếp theo. Hỏi sau ít nhất bao nhiêu năm người đó nhận được số tiền lớn hơn 100 triệu đồng bao gồm gốc và lãi ? Giả định trong suốt thời gian gửi, lãi suất không đổi và người đó không rút tiền ra.

Số chỉnh hợp chập 2 của 5 phần tử bằng

Cho hình lập phương ABCD.A′B′C′D′ cạnh bằng a. Gọi M là trung điểm cạnh DD′ (tham khảo hình vẽ bên). Côsin góc giữa hai đường thẳng CB′ và MC′ bằng

Cho hàm số $y=x^2-mx (0<m<4)$ có đồ thị (C). Gọi $S_1$ là diện tích hình phẳng giới hạn bởi (C) và trục hoành; $S_2$ là diện tích hình phẳng giới hạn bởi (C), trục hoành và hai đường thẳng x=m,x=4. Biết $S_1=S_2$, giá trị của m bằng

Cho tập A={1,2,3,...,100}. Gọi S là tập hợp gồm tất cả các tập con của A, mỗi tập con này gồm 3 phần tử của A và có tổng bằng 99. Chọn ngẫu nhiên một phần tử thuộc S. Xác suất để chọn được phần tử có ba số lập thành một cấp số cộng bằng

Có bao nhiêu cặp số thực (a;b) để trong khai triển $(x+a{)}^3(x-b{)}^6$, hệ số của $x^7$ là -9 và không có số hạng chứa $x^8$.

Có bao nhiêu số dương m để giá trị lớn nhất của hàm số $y=x^3-3x+1$ trên đoạn [m+1;m+2] bằng 53.