Cho hai số phức z1=7+9i và z2=8i. Gọi z=a+bi a,b∈ℝ là số phức thỏa mãn z−1−i=5. Tìm a+b, biết biểu thức P=z−z1+2z−z2 đạt giá trị nhỏ nhất A. ‒3 B. ‒7 C. 3 D. 7

Đáp án D.Gọi Ma;blà điểm biểu diễn số phức z=a+bi . Đặt I=1;1 , A7;9 và B0;8 Ta xét bài toán: Tìm điểm M thuộc đường tròn Ccó tâm I, bán kính R=5 sao cho biểu thức P=MA+2MB đạt giá trị nhỏ nhất.Trước tiên, ta tìm điểm Kx;y sao cho MA=2MK ∀M∈C .Ta có MA=2MK⇔MA2=4MK2⇔MI→+IA→2=4MI→+IK→2⇔MI2+IA2+2MI→.IA→=4MI2+IK2+2MI→.IK→⇔2MI→IA→−4IK→=3R2+4IK2−IA2 *(*) luôn đúng ∀M∈C⇔IA→−4IK→=0→3R2+4IK2−IA2=0 .IA→−4IK→=0→⇔4x−1=64y−1=8⇔x=52y=3Thử trực tiếp ta thấy K52;3 thỏa mãn 3R2+4IK2−IA2=0 .Ta cos MA+2MB=2MK+2MB=2MK+MB≥2KB .Vì BI2=12+72=50>R2=25 nên B nằm ngoài (C).Vì KI2=322+22<R2=25 nên K nằm trong (C) .Dấu bằng trong bất đẳng thức trên xảy ra khi và chỉ khi M thuộc đoạn thẳng BK . Do đó MA+2MB nhỏ nhất khi và chỉ khi M là giao điểm của (C) và đường thẳng BK.Phương trình đường thẳng BK:2x+y−8=0 .Phương trình đường tròn C:x−12+y−12=25 .Tọa độ điểm M là nghiệm của hệ2x+y=8x−12+y−12=25⇔x=1y=6 hoặc x=5y=−2 .Thử lại thấy M1;6 thuộc đoạn BK.Vậy a=1,b=6⇒a+b=7 .

Câu hỏi:

18/08/2020 581

Cho hai số phức $z_{1} = 7 + 9 i$ và $z_{2} = 8 i$ . Gọi $z = a + b i (a, b \in ℝ)$ là số phức thỏa mãn $|z - 1 - i| = 5$ . Tìm $a + b$ , biết biểu thức $P = |z - z_{1}| + 2 |z - z_{2}|$ đạt giá trị nhỏ nhất

A. ‒3

B. ‒7

C. 3

D. 7

Xem lời giải

Câu hỏi trong đề: 20 Đề thi thử THPTQG môn Toán mới nhất cực hay có lời giải !!

Bắt đầu thi

Quảng cáo

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

Đáp án D.

Gọi $M (a; b)$ là điểm biểu diễn số phức $z = a + b i$ . Đặt $I = (1; 1)$ , $A (7; 9)$ và $B (0; 8)$

Ta xét bài toán: Tìm điểm M thuộc đường tròn $(C)$ có tâm I, bán kính $R = 5$ sao cho biểu thức $P = M A + 2 M B$ đạt giá trị nhỏ nhất.

Trước tiên, ta tìm điểm $K (x; y)$ sao cho $M A = 2 M K \forall M \in (C)$ .

Ta có

$\begin{array}{l} M A = 2 M K \Leftrightarrow M A^{2} = 4 M K^{2} \\ \Leftrightarrow {(\vec{M I} + \vec{I A})}^{2} = 4 {(\vec{M I} + \vec{I K})}^{2} \end{array}$

$\Leftrightarrow M I^{2} + I A^{2} + 2 \vec{M I} . \vec{I A}$ $= 4 (M I^{2} + I K^{2} + 2 \vec{M I} . \vec{I K})$

$\Leftrightarrow 2 \vec{M I} (\vec{I A} - 4 \vec{I K}) = 3 R^{2} + 4 I K^{2} - I A^{2} (*)$

(*) luôn đúng $\forall M \in (C) \Leftrightarrow \{\begin{cases} \vec{I A} - 4 \vec{I K} = \vec{0} \\ 3 R^{2} + 4 I K^{2} - I A^{2} = 0 \end{cases}$ .

$\begin{array}{l} \vec{I A} - 4 \vec{I K} = \vec{0} \\ \Leftrightarrow \{\begin{cases} 4 (x - 1) = 6 \\ 4 (y - 1) = 8 \end{cases} \\ \Leftrightarrow \{\begin{cases} x = \frac{5}{2} \\ y = 3 \end{cases} \end{array}$

Thử trực tiếp ta thấy $K (\frac{5}{2}; 3)$ thỏa mãn $3 R^{2} + 4 I K^{2} - I A^{2} = 0$ .

Ta cos $M A + 2 M B = 2 M K + 2 M B$ $= 2 (M K + M B) \geq 2 K B$ .

Vì $B I^{2} = 1^{2} + 7^{2} = 50 > R^{2} = 25$ nên B nằm ngoài (C).

Vì $K I^{2} = {(\frac{3}{2})}^{2} + 2^{2} < R^{2} = 25$ nên K nằm trong (C) .

Dấu bằng trong bất đẳng thức trên xảy ra khi và chỉ khi M thuộc đoạn thẳng BK . Do đó $M A + 2 M B$ nhỏ nhất khi và chỉ khi M là giao điểm của (C) và đường thẳng BK.

Phương trình đường thẳng $B K : 2 x + y - 8 = 0$ .

Phương trình đường tròn $(C) : {(x - 1)}^{2} + {(y - 1)}^{2} = 25$ .

Tọa độ điểm M là nghiệm của hệ

$\{\begin{cases} 2 x + y = 8 \\ {(x - 1)}^{2} + {(y - 1)}^{2} = 25 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} x = 1 \\ y = 6 \end{cases}$

hoặc $\{\begin{cases} x = 5 \\ y = - 2 \end{cases}$ .

Thử lại thấy $M (1; 6)$ thuộc đoạn BK.

Vậy $a = 1, b = 6 \Rightarrow a + b = 7$ .

Hot: 500+ Đề thi thử tốt nghiệp THPT các môn, ĐGNL các trường ĐH... file word có đáp án (2025). Tải ngay

Sách thầy cô Vietjack biên soạn:

Xem thêm »

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1

Có 8 người ngồi xung quanh một chiếc bàn tròn. Mỗi người cầm một đồng xu cân đối, đồng chất. Cả 8 người đồng thời tung đồng xu. Ai tung được mặt ngửa thì phải đứng dậy, ai tung được mặt sấp thì ngồi yên tại chỗ. Tính xác suất sao cho không có hai người nào ngồi cạnh nhau phải đứng dậy?

A. $\frac{47}{256}$

B. $\frac{67}{256}$

C. $\frac{55}{256}$

D. $\frac{23}{128}$

Lời giải

Đáp án A.

Đặt $Ω$ là không gian mẫu. Ta có $n (Ω) = 2^{8} = 256$ .

Gọi A là biến cố “Không có hai người nào ngồi cạnh nhau phải đứng dậy”.

- TH1: Không có ai tung được mặt ngửa. Trường hợp này có 1 khả năng xảy ra.

- TH2: Chỉ có 1 người tung được mặt ngửa. Trường hợp này có 8 khả năng xảy ra.

- TH3: Có 2 người tung được mặt ngửa nhưng không ngồi cạnh nhau: Có $\frac{8.5}{2} = 20$ khả năng xảy ra (do mỗi người trong vòng tròn thì có 5 người không ngồi cạnh).

- TH4: Có 3 người tung được mặt ngửa nhưng không có 2 người nào trong 3 người này ngồi cạnh nhau. Trường hợp này có $C_{8}^{3} - 8 - 8.4 = 16$ khả năng xảy ra.

Thật vậy:

+ Có $C_{8}^{3}$ cách chọn 3 người trong số 8 người.

+ Có 8 khả năng cả ba người này ngồi cạnh nhau.

+ Nếu chỉ có 2 người ngồi cạnh nhau. Có 8 cách chọn ra một người, với mỗi cách chọn ra một người có 4 cách chọn ra hai người ngồi cạnh nhau và không ngồi cạnh người đầu tiên (độc giả vẽ hình để rõ hơn). Vậy có 8.4 khả năng.

- TH5: Có 4 người tung được mặt ngửa nhưng không có 2 người nào trong 4 người này ngồi cạnh nhau. Trường hợp này có 2 khả năng xảy ra.

Suy ra

$\begin{array}{l} n (A) = 1 + 8 + 20 + 16 + 2 = 47 \\ \Rightarrow P (A) = \frac{47}{256} \end{array}$

Câu 2

Gọi n là tổng số tiệm cận đứng và tiệm cận ngang của đồ thị hàm số $y = \frac{|2 - x|}{x^{2} - 4 x + 3}$ . Tìm n.

A. $n = 4$

B. $n = 2$

C. $n = 3$

D. $n = 1$

Lời giải

Đáp án C.

Ta có: $x^{2} - 4 x + 3 = 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x = 1 \\ x = 3 \end{array}$ mà x = 1 và x= 3 không là nghiệm của tử thức

$\Rightarrow x = 1$ và $x = 3$ là các tiệm cận đứng của đồ thị hàm số đã cho.

Lại có bậc tử nhỏ hơn bậc mẫu $\Rightarrow y = 0$ là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số đã cho.

Vậy đồ thị hàm số đã cho có 3 đường tiệm cận

Câu 3

Gọi h(t) (cm) là mức nước ở một bồn chứa sau khi bơm nước vào bồn được t giây. Biết rằng $h' (t) = \frac{1}{5} \sqrt[3]{t + 8}$ và lúc đầu bồn không có nước. Tìm mức nước ở bồn sau khi bơm nước được 56 giây.

A. 40,8 cm

B. 38,4 cm

C. 36 cm

D. 51,2 cm

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 4

Người ta đặt một khối chóp tứ giác đều lên trên một khối lập phương để thu được một khối mới như trong hình. Tính thể tích V của khối mới thu được?

A. V=513 $c m^{3}$

B. V=999 $c m^{3}$

C. V=1242 $c m^{3}$

D. V=1539 $c m^{3}$

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 5

Một bồn nước inox được thiết kế có dạng hình trụ (có nắp) đựng được 10 mét khối nước. Tìm bán kính r của đáy bồn nước biết lượng inox được sử dụng để làm bồn nước là ít nhất?

A. $r = \sqrt[3]{5 π} (m)$

B. $r = \sqrt[3]{\frac{5}{π}} (m)$

C. $r = \sqrt[3]{\frac{5}{2 π}} (m)$

D. $r = \sqrt[3]{\frac{10}{π}} (m)$

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 6

Một đa giác đều có 54 đường chéo. Tính số hình chữ nhật có 4 đỉnh là 4 đỉnh của đa giác đều đó.

A. 702

B. 351

C. 30

D. 15

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 7

Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông ABCD cạnh a, cạnh SA vuông góc với mặt phẳng (ABCD) và SA=a. Tính theo a khoảng cách d giữa hai đường thẳng SC và BD.

A. $d = \frac{a \sqrt{2}}{2}$

B. $d = \frac{a \sqrt{3}}{3}$

C. $d = \frac{a \sqrt{5}}{5}$

D. $d = \frac{a \sqrt{6}}{6}$

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Xem thêm các câu hỏi khác »

Hỏi bài tập

Đăng ký gói thi VIP

VIP +1 tháng ( 199,000 VNĐ )

VIP +1 - Luyện thi tất cả các đề có trên Website trong 1 tháng

Hơn 100K đề thi thử, đề minh hoạ, chính thức các năm
Với 2tr+ câu hỏi theo các mức độ Nhận biết, Thông hiểu, Vận dụng
Tải xuống đề thi [DOCX] với đầy đủ đáp án
Xem bài giảng đính kèm củng cố thêm kiến thức
Bao gồm tất cả các bậc từ Tiểu học đến Đại học
Chặn hiển thị quảng cáo tăng khả năng tập trung ôn luyện

Mua ngay

VIP +3 tháng ( 299,000 VNĐ )

VIP +3 - Luyện thi tất cả các đề có trên Website trong 3 tháng

Hơn 100K đề thi thử, đề minh hoạ, chính thức các năm
Với 2tr+ câu hỏi theo các mức độ Nhận biết, Thông hiểu, Vận dụng
Tải xuống đề thi [DOCX] với đầy đủ đáp án
Xem bài giảng đính kèm củng cố thêm kiến thức
Bao gồm tất cả các bậc từ Tiểu học đến Đại học
Chặn hiển thị quảng cáo tăng khả năng tập trung ôn luyện

Mua ngay

VIP +6 tháng ( 399,000 VNĐ )

VIP +6 - Luyện thi tất cả các đề có trên Website trong 6 tháng

Hơn 100K đề thi thử, đề minh hoạ, chính thức các năm
Với 2tr+ câu hỏi theo các mức độ Nhận biết, Thông hiểu, Vận dụng
Tải xuống đề thi [DOCX] với đầy đủ đáp án
Xem bài giảng đính kèm củng cố thêm kiến thức
Bao gồm tất cả các bậc từ Tiểu học đến Đại học
Chặn hiển thị quảng cáo tăng khả năng tập trung ôn luyện

Mua ngay

VIP +12 tháng ( 499,000 VNĐ )

VIP +12 - Luyện thi tất cả các đề có trên Website trong 12 tháng

Hơn 100K đề thi thử, đề minh hoạ, chính thức các năm
Với 2tr+ câu hỏi theo các mức độ Nhận biết, Thông hiểu, Vận dụng
Tải xuống đề thi [DOCX] với đầy đủ đáp án
Xem bài giảng đính kèm củng cố thêm kiến thức
Bao gồm tất cả các bậc từ Tiểu học đến Đại học
Chặn hiển thị quảng cáo tăng khả năng tập trung ôn luyện

Mua ngay

Cho hai số phức z1=7+9i và z2=8i. Gọi z=a+bi a,b∈ℝ là số phức thỏa mãn z−1−i=5. Tìm a+b, biết biểu thức P=z−z1+2z−z2 đạt giá trị nhỏ nhất

Gọi n là tổng số tiệm cận đứng và tiệm cận ngang của đồ thị hàm số y=2−xx2−4x+3. Tìm n.

Gọi h(t) (cm) là mức nước ở một bồn chứa sau khi bơm nước vào bồn được t giây. Biết rằng h't=15t+83 và lúc đầu bồn không có nước. Tìm mức nước ở bồn sau khi bơm nước được 56 giây.

Người ta đặt một khối chóp tứ giác đều lên trên một khối lập phương để thu được một khối mới như trong hình. Tính thể tích V của khối mới thu được?

Một bồn nước inox được thiết kế có dạng hình trụ (có nắp) đựng được 10 mét khối nước. Tìm bán kính r của đáy bồn nước biết lượng inox được sử dụng để làm bồn nước là ít nhất?

Một đa giác đều có 54 đường chéo. Tính số hình chữ nhật có 4 đỉnh là 4 đỉnh của đa giác đều đó.

Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông ABCD cạnh a, cạnh SA vuông góc với mặt phẳng (ABCD) và SA=a. Tính theo a khoảng cách d giữa hai đường thẳng SC và BD.

VIP +1 tháng ( 199,000 VNĐ )

VIP +3 tháng ( 299,000 VNĐ )

VIP +6 tháng ( 399,000 VNĐ )

VIP +12 tháng ( 499,000 VNĐ )

🔥 Đề thi HOT:

CHỌN BỘ SÁCH BẠN MUỐN XEM

Đăng ký

Đăng nhập

Quên mật khẩu

Cho hai số phức $z_{1} = 7 + 9 i$ và $z_{2} = 8 i$ . Gọi $z = a + b i (a, b \in ℝ)$ là số phức thỏa mãn $|z - 1 - i| = 5$ . Tìm $a + b$ , biết biểu thức $P = |z - z_{1}| + 2 |z - z_{2}|$ đạt giá trị nhỏ nhất

Gọi n là tổng số tiệm cận đứng và tiệm cận ngang của đồ thị hàm số $y = \frac{|2 - x|}{x^{2} - 4 x + 3}$ . Tìm n.

Gọi h(t) (cm) là mức nước ở một bồn chứa sau khi bơm nước vào bồn được t giây. Biết rằng $h' (t) = \frac{1}{5} \sqrt[3]{t + 8}$ và lúc đầu bồn không có nước. Tìm mức nước ở bồn sau khi bơm nước được 56 giây.