Cho hai số phức z1=7+9i và z2=8i. Gọi z=a+bi a,b∈ℝ là số phức thỏa mãn z−1−i=5. Tìm a+b, biết biểu thức P=z−z1+2z−z2 đạt giá trị nhỏ nhất A. ‒3 B. ‒7 C. 3 D. 7

Đáp án D.Gọi Ma;blà điểm biểu diễn số phức z=a+bi . Đặt I=1;1 , A7;9 và B0;8 Ta xét bài toán: Tìm điểm M thuộc đường tròn Ccó tâm I, bán kính R=5 sao cho biểu thức P=MA+2MB đạt giá trị nhỏ nhất.Trước tiên, ta tìm điểm Kx;y sao cho MA=2MK ∀M∈C .Ta có MA=2MK⇔MA2=4MK2⇔MI→+IA→2=4MI→+IK→2⇔MI2+IA2+2MI→.IA→=4MI2+IK2+2MI→.IK→⇔2MI→IA→−4IK→=3R2+4IK2−IA2 *(*) luôn đúng ∀M∈C⇔IA→−4IK→=0→3R2+4IK2−IA2=0 .IA→−4IK→=0→⇔4x−1=64y−1=8⇔x=52y=3Thử trực tiếp ta thấy K52;3 thỏa mãn 3R2+4IK2−IA2=0 .Ta cos MA+2MB=2MK+2MB=2MK+MB≥2KB .Vì BI2=12+72=50>R2=25 nên B nằm ngoài (C).Vì KI2=322+22<R2=25 nên K nằm trong (C) .Dấu bằng trong bất đẳng thức trên xảy ra khi và chỉ khi M thuộc đoạn thẳng BK . Do đó MA+2MB nhỏ nhất khi và chỉ khi M là giao điểm của (C) và đường thẳng BK.Phương trình đường thẳng BK:2x+y−8=0 .Phương trình đường tròn C:x−12+y−12=25 .Tọa độ điểm M là nghiệm của hệ2x+y=8x−12+y−12=25⇔x=1y=6 hoặc x=5y=−2 .Thử lại thấy M1;6 thuộc đoạn BK.Vậy a=1,b=6⇒a+b=7 .

Câu hỏi:

18/08/2020 528

Cho hai số phức $z_{1} = 7 + 9 i$ và $z_{2} = 8 i$ . Gọi $z = a + b i (a, b \in ℝ)$ là số phức thỏa mãn $|z - 1 - i| = 5$ . Tìm $a + b$ , biết biểu thức $P = |z - z_{1}| + 2 |z - z_{2}|$ đạt giá trị nhỏ nhất

A. ‒3

B. ‒7

C. 3

D. 7

Đáp án chính xác

Xem lời giải

Câu hỏi trong đề: 20 Đề thi thử THPTQG môn Toán mới nhất cực hay có lời giải !!

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

Đáp án D.

Gọi $M (a; b)$ là điểm biểu diễn số phức $z = a + b i$ . Đặt $I = (1; 1)$ , $A (7; 9)$ và $B (0; 8)$

Ta xét bài toán: Tìm điểm M thuộc đường tròn $(C)$ có tâm I, bán kính $R = 5$ sao cho biểu thức $P = M A + 2 M B$ đạt giá trị nhỏ nhất.

Trước tiên, ta tìm điểm $K (x; y)$ sao cho $M A = 2 M K \forall M \in (C)$ .

Ta có

$\begin{array}{l} M A = 2 M K \Leftrightarrow M A^{2} = 4 M K^{2} \\ \Leftrightarrow {(\vec{M I} + \vec{I A})}^{2} = 4 {(\vec{M I} + \vec{I K})}^{2} \end{array}$

$\Leftrightarrow M I^{2} + I A^{2} + 2 \vec{M I} . \vec{I A}$ $= 4 (M I^{2} + I K^{2} + 2 \vec{M I} . \vec{I K})$

$\Leftrightarrow 2 \vec{M I} (\vec{I A} - 4 \vec{I K}) = 3 R^{2} + 4 I K^{2} - I A^{2} (*)$

(*) luôn đúng $\forall M \in (C) \Leftrightarrow \{\begin{cases} \vec{I A} - 4 \vec{I K} = \vec{0} \\ 3 R^{2} + 4 I K^{2} - I A^{2} = 0 \end{cases}$ .

$\begin{array}{l} \vec{I A} - 4 \vec{I K} = \vec{0} \\ \Leftrightarrow \{\begin{cases} 4 (x - 1) = 6 \\ 4 (y - 1) = 8 \end{cases} \\ \Leftrightarrow \{\begin{cases} x = \frac{5}{2} \\ y = 3 \end{cases} \end{array}$

Thử trực tiếp ta thấy $K (\frac{5}{2}; 3)$ thỏa mãn $3 R^{2} + 4 I K^{2} - I A^{2} = 0$ .

Ta cos $M A + 2 M B = 2 M K + 2 M B$ $= 2 (M K + M B) \geq 2 K B$ .

Vì $B I^{2} = 1^{2} + 7^{2} = 50 > R^{2} = 25$ nên B nằm ngoài (C).

Vì $K I^{2} = {(\frac{3}{2})}^{2} + 2^{2} < R^{2} = 25$ nên K nằm trong (C) .

Dấu bằng trong bất đẳng thức trên xảy ra khi và chỉ khi M thuộc đoạn thẳng BK . Do đó $M A + 2 M B$ nhỏ nhất khi và chỉ khi M là giao điểm của (C) và đường thẳng BK.

Phương trình đường thẳng $B K : 2 x + y - 8 = 0$ .

Phương trình đường tròn $(C) : {(x - 1)}^{2} + {(y - 1)}^{2} = 25$ .

Tọa độ điểm M là nghiệm của hệ

$\{\begin{cases} 2 x + y = 8 \\ {(x - 1)}^{2} + {(y - 1)}^{2} = 25 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} x = 1 \\ y = 6 \end{cases}$

hoặc $\{\begin{cases} x = 5 \\ y = - 2 \end{cases}$ .

Thử lại thấy $M (1; 6)$ thuộc đoạn BK.

Vậy $a = 1, b = 6 \Rightarrow a + b = 7$ .

Bình luận hoặc Báo cáo
về câu hỏi!

Câu 1:

Có 8 người ngồi xung quanh một chiếc bàn tròn. Mỗi người cầm một đồng xu cân đối, đồng chất. Cả 8 người đồng thời tung đồng xu. Ai tung được mặt ngửa thì phải đứng dậy, ai tung được mặt sấp thì ngồi yên tại chỗ. Tính xác suất sao cho không có hai người nào ngồi cạnh nhau phải đứng dậy?

A. $\frac{47}{256}$

B. $\frac{67}{256}$

C. $\frac{55}{256}$

D. $\frac{23}{128}$

Xem đáp án » 08/11/2021 19,429

Câu 2:

Gọi n là tổng số tiệm cận đứng và tiệm cận ngang của đồ thị hàm số $y = \frac{|2 - x|}{x^{2} - 4 x + 3}$ . Tìm n.

A. $n = 4$

B. $n = 2$

C. $n = 3$

D. $n = 1$

Xem đáp án » 15/08/2020 2,958

Câu 3:

Gọi h(t) (cm) là mức nước ở một bồn chứa sau khi bơm nước vào bồn được t giây. Biết rằng $h' (t) = \frac{1}{5} \sqrt[3]{t + 8}$ và lúc đầu bồn không có nước. Tìm mức nước ở bồn sau khi bơm nước được 56 giây.

A. 40,8 cm

B. 38,4 cm

C. 36 cm

D. 51,2 cm

Xem đáp án » 15/08/2020 1,770

Câu 4:

Người ta đặt một khối chóp tứ giác đều lên trên một khối lập phương để thu được một khối mới như trong hình. Tính thể tích V của khối mới thu được?

A. V=513 $c m^{3}$

B. V=999 $c m^{3}$

C. V=1242 $c m^{3}$

D. V=1539 $c m^{3}$

Xem đáp án » 15/08/2020 1,557

Câu 5:

Một đa giác đều có 54 đường chéo. Tính số hình chữ nhật có 4 đỉnh là 4 đỉnh của đa giác đều đó.

A. 702

B. 351

C. 30

D. 15

Xem đáp án » 15/08/2020 1,005

Câu 6:

Một bồn nước inox được thiết kế có dạng hình trụ (có nắp) đựng được 10 mét khối nước. Tìm bán kính r của đáy bồn nước biết lượng inox được sử dụng để làm bồn nước là ít nhất?

A. $r = \sqrt[3]{5 π} (m)$

B. $r = \sqrt[3]{\frac{5}{π}} (m)$

C. $r = \sqrt[3]{\frac{5}{2 π}} (m)$

D. $r = \sqrt[3]{\frac{10}{π}} (m)$

Xem đáp án » 15/08/2020 708

Câu 7:

Cho tam giác ABC đều cạnh a quay xung quanh đường cao AH tạo nên một hình nón. Tính diện tích xung quanh S của hính nón.

A. $S = π a^{2}$

B. $S = 2 π a^{2}$

C. $S = \frac{1}{2} π a^{2}$

D. $S = \frac{3}{4} π a^{2}$

Xem đáp án » 15/08/2020 547

Xem thêm các câu hỏi khác »

Cho hai số phức $z_{1} = 7 + 9 i$ và $z_{2} = 8 i$ . Gọi $z = a + b i (a, b \in ℝ)$ là số phức thỏa mãn $|z - 1 - i| = 5$ . Tìm $a + b$ , biết biểu thức $P = |z - z_{1}| + 2 |z - z_{2}|$ đạt giá trị nhỏ nhất

Nhà sách VIETJACK:

Gọi n là tổng số tiệm cận đứng và tiệm cận ngang của đồ thị hàm số $y = \frac{|2 - x|}{x^{2} - 4 x + 3}$ . Tìm n.

Gọi h(t) (cm) là mức nước ở một bồn chứa sau khi bơm nước vào bồn được t giây. Biết rằng $h' (t) = \frac{1}{5} \sqrt[3]{t + 8}$ và lúc đầu bồn không có nước. Tìm mức nước ở bồn sau khi bơm nước được 56 giây.

Người ta đặt một khối chóp tứ giác đều lên trên một khối lập phương để thu được một khối mới như trong hình. Tính thể tích V của khối mới thu được?

Một đa giác đều có 54 đường chéo. Tính số hình chữ nhật có 4 đỉnh là 4 đỉnh của đa giác đều đó.

Một bồn nước inox được thiết kế có dạng hình trụ (có nắp) đựng được 10 mét khối nước. Tìm bán kính r của đáy bồn nước biết lượng inox được sử dụng để làm bồn nước là ít nhất?

Cho tam giác ABC đều cạnh a quay xung quanh đường cao AH tạo nên một hình nón. Tính diện tích xung quanh S của hính nón.

Bình luận

🔥 Đề thi HOT:

VIP +3 tháng ( 199,000 VNĐ )

VIP +6 tháng ( 299,000 VNĐ )

VIP +12 tháng ( 499,000 VNĐ )

Cho hai số phức z1=7+9i và z2=8i. Gọi z=a+bi a,b∈ℝ là số phức thỏa mãn z−1−i=5. Tìm a+b, biết biểu thức P=z−z1+2z−z2 đạt giá trị nhỏ nhất

Nhà sách VIETJACK:

Gọi n là tổng số tiệm cận đứng và tiệm cận ngang của đồ thị hàm số y=2−xx2−4x+3. Tìm n.

Gọi h(t) (cm) là mức nước ở một bồn chứa sau khi bơm nước vào bồn được t giây. Biết rằng h't=15t+83 và lúc đầu bồn không có nước. Tìm mức nước ở bồn sau khi bơm nước được 56 giây.

Người ta đặt một khối chóp tứ giác đều lên trên một khối lập phương để thu được một khối mới như trong hình. Tính thể tích V của khối mới thu được?

Một đa giác đều có 54 đường chéo. Tính số hình chữ nhật có 4 đỉnh là 4 đỉnh của đa giác đều đó.

Một bồn nước inox được thiết kế có dạng hình trụ (có nắp) đựng được 10 mét khối nước. Tìm bán kính r của đáy bồn nước biết lượng inox được sử dụng để làm bồn nước là ít nhất?

Cho tam giác ABC đều cạnh a quay xung quanh đường cao AH tạo nên một hình nón. Tính diện tích xung quanh S của hính nón.

Bình luận

🔥 Đề thi HOT:

VIP +3 tháng ( 199,000 VNĐ )

VIP +6 tháng ( 299,000 VNĐ )

VIP +12 tháng ( 499,000 VNĐ )

CHỌN BỘ SÁCH BẠN MUỐN XEM

Đăng ký

Đăng nhập

Quên mật khẩu

Cho hai số phức $z_{1} = 7 + 9 i$ và $z_{2} = 8 i$ . Gọi $z = a + b i (a, b \in ℝ)$ là số phức thỏa mãn $|z - 1 - i| = 5$ . Tìm $a + b$ , biết biểu thức $P = |z - z_{1}| + 2 |z - z_{2}|$ đạt giá trị nhỏ nhất

Gọi n là tổng số tiệm cận đứng và tiệm cận ngang của đồ thị hàm số $y = \frac{|2 - x|}{x^{2} - 4 x + 3}$ . Tìm n.

Gọi h(t) (cm) là mức nước ở một bồn chứa sau khi bơm nước vào bồn được t giây. Biết rằng $h' (t) = \frac{1}{5} \sqrt[3]{t + 8}$ và lúc đầu bồn không có nước. Tìm mức nước ở bồn sau khi bơm nước được 56 giây.