Cho hàm số $y=a{x}^4+b{x}^2+c$ có đồ thị (C), biết rằng (C)  đi qua điểm $A\left(-1;0\right)$. Tiếp tuyến d tại A của (C) cắt (C) tại hai điểm có hoành độ lần lượt là 0 và 2. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi d, đồ thị (C) và hai đường thẳng x=0, x=2 bằng $\frac{28}{5}$ (phần tô đậm trong hình vẽ).

Diện tích hình phẳng giới hạn bởi d, đồ thị (C) và hai đường thẳng x= -1, x=0 có diện tích bằng

Đáp án D.

Ta có $y\text{'}=4a{x}^3+2bx$$\to y\text{'}\left(-1\right)=-4a-2b$  . Phương trình tiếp tuyến của  (C) tại điểm  $A\left(-1;0\right)$ là đường thẳng

$\begin{array}{l}d:y=y\text{'}\left(-1\right).\left(x+1\right)\\ \iff y=\left(-4a-2b\right)x-4a-2b\end{array}$

Phương trình hoành độ giao điểm của đường thẳng d và đồ thị (C) là:

  $a{x}^4+b{x}^2+c$$=-\left(4a+2b\right)x-4a-2b$$\iff a{x}^4+b{x}^2+\left(4a+2b\right)x$$+4a+2b+c=0$(*)

Quan sát đồ thị, ta thấy đường thẳng d cắt đồ thị  tại hai điểm có hoành độ  $x=\mathrm{0,}x=2$nên phương trình (*) có hai nghiệm $x=\mathrm{0,}x=2$ .

Suy ra  

$\begin{array}{l}\left\{\begin{array}{l}4a+2b+c=0\\ 16a+4b+2\left(4a+2b\right)+4a+2b+c=0\end{array}\right.\\ \iff \left\{\begin{array}{l}4a+2b+c=0\\ 28a+10b+c=0\end{array}\right.\end{array}$ (1)

Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đường thẳng d, đồ thị (C) và hai đường thẳng  $x=\mathrm{0,}x=2$là  

 $S=\underset{0}{\overset{2}{\int }}\left|\left(-4a-2b\right)x-4a-2b-\left(a{x}^4+b{x}^2+c\right)\right|dx=\frac{28}{5}$

 $\iff \underset{0}{\overset{2}{\int }}\left[\left(-4a-2b\right)x-4a-2b-a{x}^4-b{x}^2-c\right]dx=\frac{28}{5}$

$\iff {\left.\left[-\frac{a}{5}{x}^5-\frac{b}{3}{x}^3-\left(2a+b\right)x^2-\left(4a+2b+c\right)x\right]\right|}_0^2=\frac{28}{5}$

 $\begin{array}{l}\iff -\frac{32}{5}a-\frac{8b}{3}-4\left(2a+b\right)\\ -2\left(4a+2b+c\right)=-\frac{28}{5}\\ \iff \frac{112}{5}a+\frac{32}{3}b+2c=\frac{28}{5}\left(2\right)\end{array}$

Giải hệ phương trình gồm (1) và (2) ta tìm được: $a=-\mathrm{1,}b=\mathrm{3,}c=-2$ .

Suy ra $\left(C\right):y=-x^4+3x^2-2$  và$d:y=-2x-2$ . Diện tích hình phẳng cần tính là:

$\begin{array}{l}S=\underset{-1}{\overset{0}{\int }}\left|\left(-x^4+3x^2-2\right)-\left(-2x-2\right)\right|dx\\ =\underset{-1}{\overset{0}{\int }}\left|-x^4+3x^2+2x\right|dx\\ =\underset{-1}{\overset{0}{\int }}\left(x^4-3x^2-2x\right)dx\end{array}$ 

 $={\left.\left(\frac{x^5}{5}-x^3-x^2\right)\right|}_{-1}^0=\frac{1}{5}$(đvdt).