Câu hỏi:

17/08/2020 469

Cho hình hộp chữ nhật ABCD A'B'C'D' có khoảng cách giữa hai đường thẳng AB và B'C bằng khoảng cách giữa hai đường thẳng BC và AB' và bằng $\frac{2 a \sqrt{5}}{5}$ . Khoảng cách giữa hai đường thẳng AC và BD' là $\frac{a \sqrt{3}}{3}$ . Tính thể tích V của khối hộp chữ nhật đã cho

A. $V = a^{3}$

B. $V = 8 a^{3}$

C. $V = 2 a^{3}$

D. $V = 3 a^{3}$

Xem lời giải

Câu hỏi trong đề: 20 Đề thi thử THPTQG môn Toán mới nhất cực hay có lời giải !!

Bắt đầu thi

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

Đáp án C.

Giả sử các kích thước của hình hộp chữ nhật là $A B = x$ , $A D = y$ , $A A' = z$ . Trong đó $x, y, z > 0$ . Để giải bài toán, ta phân tích từng dữ kiện có trong đề bài.

1. Khoảng cách giữa hai đường thẳng AB và B'C bằng $\frac{2 a \sqrt{5}}{5}$ .

Ta có

$\begin{array}{l} \{\begin{cases} A B / / C D \\ C D \subset (A' B' C D) \\ A B ⊄ (A' B' C D) \end{cases} \\ \Rightarrow A B / / (A' B' C D) \\ \Rightarrow d (A B; B' C) \\ = d (A B; (A' B' C D)) \end{array}$

$= d (A; (A' B' C D))$ $= A H = \frac{2 a \sqrt{5}}{5}$ với H là hình chiếu của A trên .

Từ $\frac{1}{A H^{2}} = \frac{1}{A A'^{2}} + \frac{1}{A D^{2}}$ $\Rightarrow \frac{1}{y^{2}} + \frac{1}{z^{2}} = \frac{5}{4 a^{2}}$ (1)

2. Khoảng cách giữa hai đường thẳng BC và AB' bằng $\frac{2 a \sqrt{5}}{5}$ .

Tương tự, ta chứng minh được

$\begin{array}{l} B C / / (A B' C' D) \\ \Rightarrow d (B C; A B') = d (B C; (A B' C' D)) \end{array}$

$= B K = \frac{2 a \sqrt{5}}{5}$

với K là hình chiếu của B trên AB'.

Từ $\frac{1}{B K^{2}} = \frac{1}{B A^{2}} + \frac{1}{B B'^{2}}$ $\Rightarrow \frac{1}{x^{2}} + \frac{1}{z^{2}} = \frac{5}{4 a^{2}}$ (2)

3. Khoảng cách giữa hai đường thẳng AC và BD' là $\frac{a \sqrt{3}}{3}$ .

Gọi $\{O\} = A C \cap B D \Rightarrow O$ là trung điểm của BD. Gọi I là trung điểm của DD' thì OI là đường trung bình của $Δ B D D' \Rightarrow O I / / B D'$ $\Rightarrow B D' / / (A C I)$

$\Rightarrow d (B D'; A C) = d (B D'; (A C I)) = d (D'; (A C I)) = d (D; (A C I))$

Ta thấy DI, DA, DC đôi một vuông góc với nhau nên:

$\begin{array}{l} \frac{1}{d^{2} (D; (A C I))} \\ = \frac{1}{D A^{2}} + \frac{1}{D C^{2}} + \frac{1}{D I^{2}} \\ = \frac{1}{D A^{2}} + \frac{1}{D C^{2}} + \frac{4}{D D'} \\ \Rightarrow \frac{1}{x^{2}} + \frac{1}{y^{2}} + \frac{4}{z^{2}} = \frac{3}{a^{2}} \end{array}$

(3)

Giải hệ phương trình gồm (1), (2) và (3) ta tìm được: $x = y = z, z = 2 a$ .

Vậy thể tích của khối hộp chữ nhật đã cho là $V = x y z = a . a .2 a = 2 a^{3}$ (đvtt).

Bình luận

Câu 1:

Trong một hình tứ diện ta tô màu các đỉnh, trung điểm các cạnh, trọng tâm các mặt và trọng tâm tứ diện. Chọn ngẫu nhiên 4 điểm trong số các điểm đã tô màu. Tính xác suất để 4 điểm được chọn là 4 đỉnh của một hình tứ diện.

A. $\frac{188}{273}$

B. $\frac{1009}{1365}$

C. $\frac{245}{273}$

D. $\frac{136}{195}$

Xem đáp án » 17/08/2020 12,637

Câu 2:

Trong các hàm số sau, hàm số nào là hàm số chẵn?

A. $y = \sin |2016 x| + \cos 2017 x$

B. $y = 2016 \cos x + 2017 \sin x$

C. $y = \cot 2015 x - 2016 \sin x$

D. $y = \tan 2016 x + \cot 2017 x$

Xem đáp án » 16/08/2020 8,370

Câu 3:

Tính $I = \lim_{x \to 1} \frac{2 x - \sqrt{x + 3}}{x^{2} - 1}$

A. $I = \frac{7}{8}$

B. $I = \frac{3}{2}$

C. $I = \frac{3}{8}$

D. $I = \frac{3}{4}$

Xem đáp án » 16/08/2020 8,030

Câu 4:

Tích $(2017!) {(1 + \frac{1}{1})}^{1} {(1 + \frac{1}{2})}^{2} ... {(1 + \frac{1}{2017})}^{2017}$ được viết dưới dạng $a^{b}$ . Khi đó $(a; b)$ là cặp nào trong các cặp sau:

A. $(2018; 2017)$

B. $(2019; 2018)$

C. $(2015; 2014)$

D. $(2016; 2015)$

Xem đáp án » 17/08/2020 7,747

Câu 5:

Từ miếng tôn hình vuông cạnh bằng 4dm. Người ta cắt ra hình quạt tâm O bán kính $O A = 4$ dm (hình vẽ) để cuộn lại thành một chiếc phễu hình nón (khi đó OA trùng với OB). Chiều cao của chiếc phếu có số đo gần đúng (làm tròn đến 3 chữ số thập phân) là

A. 3,872 dm

B. 3,874 dm

C. 3,871 dm

D. 3,873 dm

Xem đáp án » 17/08/2020 6,679

Câu 6:

Cho hàm số $y = \frac{x - 2}{x + 1}$ . Chọn khẳng định đúng

A. Hàm số nghịch biến trên R

B. Hàm số đồng biến trên từng khoảng xác định

C. Hàm số đồng biến trên R

D. Hàm số có duy nhất một cực trị

Xem đáp án » 16/08/2020 3,961

Câu 7:

Sự tăng trưởng của một loài vi khuẩn tuân theo công thức $N = A . e^{r t}$ , trong đó A là số lượng vi khuẩn ban đầu, r là tỉ lệ tăng trưởng $(r > 0)$ và t là thời gian tăng trưởng. Biết số lượng vi khuẩn ban đầu có 250 con và sau 12 giờ là 1500 con. Hỏi sau bao lâu thì số lượng vi khuẩn tăng gấp 216 lần số lượng vi khuẩn ban đầu?

A. 48 giờ

B. 24 giờ

C. 60 giờ

D. 36 giờ

Xem đáp án » 17/08/2020 3,112

20 Bộ đề, Tổng ôn, sổ tay môn Toán (có đáp án chi tiết)

500 Bài tập tổng ôn môn Toán (Form 2025)

Bộ đề thi tốt nghiệp 2025 các môn Toán, Lí, Hóa, Văn, Anh, Sinh, Sử, Địa, KTPL (có đáp án chi tiết)

Tổng ôn lớp 12 môn Toán, Lí, Hóa, Văn, Anh, Sinh Sử, Địa, KTPL (Form 2025)

Bình luận

Trong các hàm số sau, hàm số nào là hàm số chẵn?

Tính $I = \lim_{x \to 1} \frac{2 x - \sqrt{x + 3}}{x^{2} - 1}$

Tích $(2017!) {(1 + \frac{1}{1})}^{1} {(1 + \frac{1}{2})}^{2} ... {(1 + \frac{1}{2017})}^{2017}$ được viết dưới dạng $a^{b}$ . Khi đó $(a; b)$ là cặp nào trong các cặp sau:

Cho hàm số $y = \frac{x - 2}{x + 1}$ . Chọn khẳng định đúng

VIP +1 tháng ( 199,000 VNĐ )

VIP +3 tháng ( 299,000 VNĐ )

VIP +6 tháng ( 399,000 VNĐ )

VIP +12 tháng ( 499,000 VNĐ )

🔥 Đề thi HOT:

Bình luận

Trong các hàm số sau, hàm số nào là hàm số chẵn?

Tính I=limx→12x−x+3x2−1

Tích 2017!1+1111+122...1+120172017 được viết dưới dạng ab. Khi đó a;b là cặp nào trong các cặp sau:

Cho hàm số y=x−2x+1. Chọn khẳng định đúng

🔥 Đề thi HOT:

CHỌN BỘ SÁCH BẠN MUỐN XEM

Đăng ký

Đăng nhập

Quên mật khẩu

Tính $I = \lim_{x \to 1} \frac{2 x - \sqrt{x + 3}}{x^{2} - 1}$

Tích $(2017!) {(1 + \frac{1}{1})}^{1} {(1 + \frac{1}{2})}^{2} ... {(1 + \frac{1}{2017})}^{2017}$ được viết dưới dạng $a^{b}$ . Khi đó $(a; b)$ là cặp nào trong các cặp sau:

Cho hàm số $y = \frac{x - 2}{x + 1}$ . Chọn khẳng định đúng