Cho hình hộp chữ nhật ABCD A'B'C'D' có khoảng cách giữa hai đường thẳng AB và B'C bằng khoảng cách giữa hai đường thẳng BC và AB' và bằng $\frac{2a\sqrt{5}}{5}$. Khoảng cách giữa hai đường thẳng AC và BD' là $\frac{a\sqrt{3}}{3}$. Tính thể tích V của khối hộp chữ nhật đã cho

Đáp án C.

Giả sử các kích thước của hình hộp chữ nhật là $AB=x$ ,$AD=y$ , $AA\text{'}=z$ . Trong đó $x,y,z>0$  . Để giải bài toán, ta phân tích từng dữ kiện có trong đề bài.

1. Khoảng cách giữa hai đường thẳng AB và B'C  bằng $\frac{2a\sqrt{5}}{5}$ .

Ta có

$\begin{array}{l}\left\{\begin{array}{l}AB//CD\\ CD\subset \left(A\text{'}B\text{'}CD\right)\\ AB\not\subset \left(A\text{'}B\text{'}CD\right)\end{array}\right.\\ \Rightarrow AB//\left(A\text{'}B\text{'}CD\right)\\ \Rightarrow d\left(AB;B\text{'}C\right)\\ =d\left(AB;\left(A\text{'}B\text{'}CD\right)\right)\end{array}$

  $=d\left(A;\left(A\text{'}B\text{'}CD\right)\right)$$=AH=\frac{2a\sqrt{5}}{5}$với H là hình chiếu của A trên .

Từ  $\frac{1}{A{H}^2}=\frac{1}{AA{\text{'}}^2}+\frac{1}{A{D}^2}$$\Rightarrow \frac{1}{y^2}+\frac{1}{z^2}=\frac{5}{4a^2}$(1)

2. Khoảng cách giữa hai đường thẳng BC và AB' bằng $\frac{2a\sqrt{5}}{5}$ .

Tương tự, ta chứng minh được

$\begin{array}{l}BC//\left(AB\text{'}C\text{'}D\right)\\ \Rightarrow d\left(BC;AB\text{'}\right)=d\left(BC;\left(AB\text{'}C\text{'}D\right)\right)\end{array}$

$=BK=\frac{2a\sqrt{5}}{5}$

 với K là hình chiếu của B trên AB'.

Từ $\frac{1}{B{K}^2}=\frac{1}{B{A}^2}+\frac{1}{BB{\text{'}}^2}$$\Rightarrow \frac{1}{x^2}+\frac{1}{z^2}=\frac{5}{4a^2}$   (2)

3. Khoảng cách giữa hai đường thẳng AC và BD' là $\frac{a\sqrt{3}}{3}$  .

Gọi  $\left\{O\right\}=AC\cap BD\Rightarrow O$ là trung điểm của BD. Gọi I là trung điểm của DD' thì OI là đường trung bình của  $\Delta BDD\text{'}\Rightarrow OI//BD\text{'}$$\Rightarrow BD\text{'}//\left(ACI\right)$

$$\begin{gathered} \Rightarrow d\left(BD\text{'};AC\right)=d\left(BD\text{'};\left(ACI\right)\right) \\ =d\left(D\text{'};\left(ACI\right)\right)=d\left(D;\left(ACI\right)\right) \end{gathered}$$

Ta thấy DI, DA, DC đôi một vuông góc với nhau nên:

$\begin{array}{l}\frac{1}{d^2\left(D;\left(ACI\right)\right)}\\ =\frac{1}{D{A}^2}+\frac{1}{D{C}^2}+\frac{1}{D{I}^2}\\ =\frac{1}{D{A}^2}+\frac{1}{D{C}^2}+\frac{4}{DD\text{'}}\\ \Rightarrow \frac{1}{x^2}+\frac{1}{y^2}+\frac{4}{z^2}=\frac{3}{a^2}\end{array}$

 (3)

Giải hệ phương trình gồm (1), (2) và (3) ta tìm được:$x=y=z,z=2a$ .

Vậy thể tích của khối hộp chữ nhật đã cho là $V=xyz=a.a.2a=2a^3$  (đvtt).