Tìm nghiệm dương nhỏ nhất thỏa mãn phương trình $\sin 2x-\cos 2x+\sin x-\cos x=1$?

Cho một tấm nhôm hình chữ nhật ABCD có AD = 60 cm. Ta gập tấm nhôm theo hai cạnh MN và PQ vào phía trong đến khi AB và DC trùng nhau, với AN = PD (như hình vẽ dưới đây) để được một hình lăng trụ. Tìm độ dài đoạn AN để thể tích khối lăng trụ lớn nhất.

Một công ty dự kiến làm một đường ống thoát nước thải hình trụ dài 1km, đường kính trong ống (không kể lớp bê tông) bằng 1m; độ dày của lớp bê tông bằng 10cm. Biết rằng cứ một khối bê tông phải dùng 10 bao xi măng. Số bao xi măng công ty phải dùng để xây dựng đường ông thoát nước gần đúng với số nào nhất?

Hình chóp S.ABCD có đáy là hình chữ nhật, AB = a, $SA\perp \left(ABCD\right)$, SC tạovới mặt đáy một góc $45°$. Mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD có bán kính bằng $a\sqrt{2}$. Thể tích khối chóp S.ABCD bằng:

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho ba vec tơ $\overrightarrow{a}(1;m;2);\overrightarrow{b}\left(m+1;2;1\right);\overrightarrow{c}\left(0;m-2;2\right).$ Giá trị của m để $\overrightarrow{a},\overrightarrow{b},\overrightarrow{c}$ đồng phẳng là:

Một công ty điện lực bán điện sinh hoạt cho dân theo hình thức lũy tiến (bậc thang) như sau: Mỗi bậc gồm 10 số; bậc 1 từ số thứ  1 đến số thứ 10, bậc 2 từ số thứ 11 đến số thứ 20, bậc 3 từ số thứ 21 đến số thứ 30,.... Bậc 1 có giá là 500 đồng/1số, giá của mỗi số ở bậc thứ n +1 tăng so với giá của mỗi số ở bậc thứ n là $2,5\%$. Gia đình ông A sử dụng hết 847  số trong tháng 1, hỏi tháng 1 ông A phải đóng bao nhiêu tiền? (Kết quả làm tròn đến hàng phần trăm)

Cho tứ diện ABCD, G là trọng tâm $∆ABD$ và M là điểm trên cạnh BC sao cho BM = 2MC. Đường thẳng MG song song với mặt phẳng nào sau đây:

Có bao nhiêu giá trị nguyên dương của x thỏa mãn bất phương trình dưới đây : $\log \left(x-40\right)+\log \left(60-x\right)<2?$