Cho tứ diện ABCD và M, N là các điểm thay đổi trên cạnh AB và CD sao cho AMMB=CNND. Gọi P là một điểm trên cạnh AC và S là diện tích thiết diện cắt bởi mặt phẳng MNP và hình chóp. Tính tỉ số k của diệ...

Đáp án C Xét trường hợp APPC=k , lúc này MP//BC nên BC//MNP .Ta có: N∈MNP∩BCDBC//MNPBC⊂BCD⇒BCD∩MNP=NQ//BC, Q∈BD .Thiết diện là tứ giác MPNQ.Xét trường hợp APPC≠k . Trong ABC gọiR=BC∩MP .Trong BCDgọi Q=NR∩BD thì thiết diện là tứ giác MNPQ.Gọi K=MN∩PQ . Ta có SMNPSMNPQ=PKPQ .Do AMNB=CNND nên theo định lí Thales đảo thì AC,NM,BD lần lượt thuộc ba mặt phẳng song song với nhau và đường thẳng PQ cắt ba mặt phẳng này tương ứng tại P, K, Q nên áp dụng định lí Thales ta được PKKQ=AMMB=CNND=k⇒PKPQ=PKPK+KQ=PKKQPKKQ+1=kk+1

Câu hỏi:

18/08/2020 856

Cho tứ diện ABCD và M, N là các điểm thay đổi trên cạnh AB và CD sao cho $\frac{A M}{M B} = \frac{C N}{N D}$ . Gọi P là một điểm trên cạnh AC và S là diện tích thiết diện cắt bởi mặt phẳng $(M N P)$ và hình chóp. Tính tỉ số k của diện tích tam giác MNP và diện tích thiết diện S.

A. $\frac{2 k}{k + 1} .$

B. $\frac{1}{k} .$

C. $\frac{k}{k + 1} .$

D. $\frac{1}{k + 1} .$

Xem lời giải

Câu hỏi trong đề: 20 Đề thi thử THPTQG môn Toán mới nhất cực hay có lời giải !!

Bắt đầu thi

Quảng cáo

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

Đáp án C

Xét trường hợp $\frac{A P}{P C} = k$ , lúc này $M P // B C$ nên $B C // (M N P)$ .

Ta có: $\{\begin{cases} N \in (M N P) \cap (B C D) \\ B C // (M N P) \\ B C \subset (B C D) \end{cases}$ $\Rightarrow (B C D) \cap (M N P)$ $= N Q // B C, Q \in B D$ .

Thiết diện là tứ giác MPNQ.

Xét trường hợp $\frac{A P}{P C} \neq k$ .

Trong $(A B C)$ gọi $R = B C \cap M P$ .

Trong $(B C D)$ gọi $Q = N R \cap B D$ thì thiết diện là tứ giác MNPQ.

Gọi $K = M N \cap P Q$ . Ta có $\frac{S_{M N P}}{S_{M N P Q}} = \frac{P K}{P Q}$ .

Do $\frac{A M}{N B} = \frac{C N}{N D}$ nên theo định lí Thales đảo thì $A C, N M, B D$ lần lượt thuộc ba mặt phẳng song song với nhau và đường thẳng PQ cắt ba mặt phẳng này tương ứng tại P, K, Q nên áp dụng định lí Thales ta được $\frac{P K}{K Q} = \frac{A M}{M B} = \frac{C N}{N D} = k$

$\Rightarrow \frac{P K}{P Q} = \frac{P K}{P K + K Q}$ $= \frac{\frac{P K}{K Q}}{\frac{P K}{K Q} + 1} = \frac{k}{k + 1}$

Hot: 500+ Đề thi thử tốt nghiệp THPT các môn, ĐGNL các trường ĐH... file word có đáp án (2025). Tải ngay

Sách thầy cô Vietjack biên soạn:

Xem thêm »

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1

Phương trình $\sin x = \cos x$ chỉ có các nghiệm là

A. $x = \frac{π}{4} + k π, k \in ℤ$

B. $x = \frac{π}{4} + k 2 π, k \in ℤ$

C. $x = \pm \frac{π}{4} + k π, k \in ℤ$

D. $x = \pm \frac{π}{4} + k 2 π, k \in ℤ$

Lời giải

Đáp án A

$\begin{array}{l} \sin x = \cos x \\ \Leftrightarrow \cos (\frac{π}{2} - x) = \cos x \\ \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x = \frac{π}{2} - x + k 2 π \\ x = x - \frac{π}{2} + k 2 π \end{array} \\ \Leftrightarrow x = \frac{π}{4} + k π, (k \in ℤ) \end{array}$

Câu 2

Một chiếc ly dạng hình nón (như hình vẽ). Người ta đổ một lượng nước vào ly sao cho chiều cao của lượng nước trong ly bằng $\frac{1}{3}$ chiều cao của ly (tính phần chứa nước). Hỏi nếu bịt kín miệng ly rồi úp ngược ly lại thì tỉ lệ chiều cao của mực nước và chiều cao của ly nước lúc đó bằng bao nhiêu?

A. $\frac{3 - 2 \sqrt{2}}{3} .$

B. $\frac{3 - \sqrt[3]{25}}{3} .$

C. $\frac{1}{9} .$

D. $\frac{3 - \sqrt[3]{26}}{3} .$

Lời giải

Đáp án D

Gọi chiều cao và bán kính đường tròn đáy của chiếc ly lần lượt là h và R

Thể tích của chiếc ly $V = \frac{1}{3} π R^{2} h$ .

Khi để cốc theo chiều xuôi thì lượng nước trong cốc là hình nón có chiều cao và bán kính đường tròn đáy lần lượt là $\frac{h}{3}$ và $\frac{R}{3}$ .

Thể tích của lượng nước $V_{1} = \frac{1}{3} π {(\frac{R}{3})}^{2} (\frac{h}{3}) = \frac{V}{27}$ .

Thể tích phần không chứa nước $V_{2} = \frac{26 V}{27}$ .

* Khi úp ngược ly lại thì phần thể tích nước trong ly không đổi và lúc đó phần không chứa nước là hình nón. Gọi h ' và R ' lần lượt là chiều cao và bán kính đường tròn đáy của phần hình nón không chứa nước. Ta có $\frac{R^{'}}{R} = \frac{h^{'}}{h}$ và phần thể tích hình nón không chứa nước là

$\begin{array}{l} V_{2} = \frac{26}{26} . V \\ \Leftrightarrow \frac{1}{3} π {R^{'}}^{2} . h^{'} = \frac{26}{27} . (\frac{1}{3} π R^{2} h) \\ \Leftrightarrow \frac{{R^{'}}^{2} . h^{'}}{R^{2} . h} = \frac{26}{27} \\ \Leftrightarrow {(\frac{h^{'}}{h})}^{3} = \frac{26}{27} \\ \Leftrightarrow \frac{h^{'}}{h} = \frac{\sqrt[3]{26}}{3} \end{array}$