Biết $\sin \alpha -\cos \alpha =m$. Tính ${\sin }^3\alpha -{\cos }^3 \alpha$:

Cho cấp số nhân $\left(u_n\right)$ có $u_2=-2$ và $u_5=54$. Khi đó tổng 1000 số hạng đầu tiên của cấp số nhân đó bằng

 Cho hàm số $\mathrm{y}=\frac{1}{3}{\mathrm{x}}^3-\frac{1}{2}\left(2m+4\right){\mathrm{x}}^2$$+\left(m^2+4m+3\right)\mathrm{x}+1$ 

(m là tham số). Tìm m để

hàm số đạt cực đại tại $x_0=2$ 

Dân số thế giới được ước tính theo công thức $\mathrm{S}=\mathrm{A}.{\mathrm{e}}^{\mathrm{r}.\mathrm{N}}$ trong đó: A là dân số của năm lấy mốc tính, S là dân số sau N năm, r là tỷ lệ tăng dân số hằng năm. Cho biết năm 2001, dân số Việt Nam có khoảng 78.685.000 người và tỷ lệ tăng dân số hằng năm là 1,7% một năm. Như vậy, nếu tỉ lệ tăng dân số hằng năm không đổi thì đến năm nào dân số nước ta ở mức khoảng 120 triệu người?

Sự tăng trưởng của một loài vi khuẩn được tính theo công thức $\mathrm{S}=\mathrm{A}.{\mathrm{e}}^{\mathrm{x}}$, trong đó A là số lượng vi khuẩn ban đầu, r là tỉ lệ tăng trưởng (r < 0), t là thời gian tăng trưởng. Biết rằng số lượng vi khuẩn ban đầu là 150 con và sau 5 giờ có 450 con, tìm số lượng vi khuẩn sau 10 giờ tăng trưởng.

Để hàm số $,\mathrm{y}=\frac{-{\mathrm{x}}^3}{3}+\left(\mathrm{a}-1\right){\mathrm{x}}^2+\left(\mathrm{a}+3\right)\mathrm{x}-4$ đồng biến trên khoảng $\left(0;3\right)$ thì giá trị cần tìm của tham số a là:

Cho góc $\alpha$ thỏa mãn $\frac{\mathrm{\pi }}{2}<\alpha <\mathrm{\pi }$ và $\sin \left(\alpha +\mathrm{\pi }\right)=-\frac{1}{3}$Tính $\tan \left(\frac{7\mathrm{\pi }}{2}-\alpha \right)$.   

Tìm chu kỳ của những hàm số sau đây: $\mathrm{y}=\tan 3\mathrm{x} + \cot 2\mathrm{x}$