Câu hỏi:

18/08/2020 591

Cho hình chóp S.ABC có $S A = a, S B = b, S C = c$ . Một mặt phẳng $(α)$ đi qua trọng tâm của $Δ A B C$ , cắt các cạnh $S A, S B, S C$ lần lượt tại $A^{'}, B^{'}, C^{'}$ . Tìm giá trị nhỏ nhất của $\frac{1}{S {A^{'}}^{2}} + \frac{1}{S {B^{'}}^{2}} + \frac{1}{S {C^{'}}^{2}}$ .

A. $\frac{3}{a^{2} + b^{2} + c^{2}} .$

B. $\frac{\sqrt{2}}{a^{2} + b^{2} + c^{2}} .$

C. $\frac{2}{a^{2} + b^{2} + c^{2}} .$

D. $\frac{9}{a^{2} + b^{2} + c^{2}} .$

Xem lời giải

Câu hỏi trong đề: 20 Đề thi thử THPTQG môn Toán mới nhất cực hay có lời giải !!

Bắt đầu thi

Quảng cáo

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

Đáp án A

Giả sử $\vec{S A} = x \vec{S A^{'}}; \vec{S B} = y \vec{S B^{'}};$ $\vec{S C} = z \vec{S C^{'}}$ .

Gọi G là trọng tâm tam giác ABC $\Rightarrow \vec{G A} + \vec{G B} + \vec{G C} = 0$ .

$\Rightarrow 3 \vec{G S} + \vec{S A} + \vec{S B} + \vec{S C} = 0$

$\begin{array}{l} \Rightarrow \vec{S G} = \frac{\vec{S A}}{3} + \frac{\vec{S B}}{3} + \frac{\vec{S C}}{3} \\ \Rightarrow \vec{S G} = \frac{x}{3} . \vec{S A^{'}} + \frac{y}{3} . \vec{S B^{'}} + \frac{z}{3} . \vec{S C^{'}} (1) \end{array}$

Do $(A^{'} B^{'} C^{'})$ đi qua G nên ba vectơ $\vec{G A^{'}}; \vec{G B^{'}}; \vec{G C^{'}}$ đồng phẳng

Suy ra tồn tại 3 số $i; m; n, (i^{2} + m^{2} + n^{2} \neq 0)$ sao cho $i . \vec{G A^{'}} + m . \vec{G B^{'}} + n . \vec{G C^{'}} = 0$

$(i + m + n) . \vec{G S} + i . \vec{S A^{'}}$ $+ m . \vec{S B^{'}} + n . \vec{S C^{'}} = 0$

$\Rightarrow \vec{S G} = \frac{i}{i + m + n} \vec{S A^{'}} + \frac{m}{i + m + n} \vec{S B^{'}}$ $+ \frac{n}{i + m + n} . \vec{S C^{'}} (2)$

Do $S G; S A^{'}; S B^{'}; S C^{'}$ không đồng phẳng nên từ (1) và (2) ta có

$\frac{x}{3} = \frac{i}{i + m + n}; \frac{y}{3} = \frac{m}{i + m + n};$ $\frac{z}{3} = \frac{n}{i + m + n}$

$\frac{x + y + z}{3} = \frac{i + m + n}{i + m + n} = 1$ $\Rightarrow x + y + z = 3$

Ta có $\frac{1}{S {A^{'}}^{2}} + \frac{1}{S {B^{'}}^{2}} + \frac{1}{S {C^{'}}^{2}}$ $= \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} + \frac{z^{2}}{c^{2}}$

Áp dụng bất đẳng thức Bunyakovsky cho hai bộ số thực $(\frac{x}{a}; \frac{y}{b}; \frac{z}{c})$ và $(a; b; c)$ ta có .

$(\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} + \frac{z^{2}}{c^{2}})$ $(a^{2} + b^{2} + c^{2}) \geq {(x + y + z)}^{2}$

$\Leftrightarrow \frac{1}{S {A^{'}}^{2}} + \frac{1}{S {B^{'}}^{2}} + \frac{1}{S {C^{'}}^{2}}$ $\geq \frac{{(x + y + z)}^{2}}{a^{2} + b^{2} + c^{2}} = \frac{3}{a^{2} + b^{2} + c^{2}}$

Dấu “=” xảy ra khi $\frac{x^{2}}{a^{2}} = \frac{y^{2}}{b^{2}} = \frac{z^{2}}{c^{2}}$

Hot: 500+ Đề thi thử tốt nghiệp THPT các môn, ĐGNL các trường ĐH... file word có đáp án (2025). Tải ngay

Sách thầy cô Vietjack biên soạn:

Xem thêm »

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1

Phương trình $\sin x = \cos x$ chỉ có các nghiệm là

A. $x = \frac{π}{4} + k π, k \in ℤ$

B. $x = \frac{π}{4} + k 2 π, k \in ℤ$

C. $x = \pm \frac{π}{4} + k π, k \in ℤ$

D. $x = \pm \frac{π}{4} + k 2 π, k \in ℤ$

Lời giải

Đáp án A

$\begin{array}{l} \sin x = \cos x \\ \Leftrightarrow \cos (\frac{π}{2} - x) = \cos x \\ \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x = \frac{π}{2} - x + k 2 π \\ x = x - \frac{π}{2} + k 2 π \end{array} \\ \Leftrightarrow x = \frac{π}{4} + k π, (k \in ℤ) \end{array}$

Câu 2

Một chiếc ly dạng hình nón (như hình vẽ). Người ta đổ một lượng nước vào ly sao cho chiều cao của lượng nước trong ly bằng $\frac{1}{3}$ chiều cao của ly (tính phần chứa nước). Hỏi nếu bịt kín miệng ly rồi úp ngược ly lại thì tỉ lệ chiều cao của mực nước và chiều cao của ly nước lúc đó bằng bao nhiêu?

A. $\frac{3 - 2 \sqrt{2}}{3} .$

B. $\frac{3 - \sqrt[3]{25}}{3} .$

C. $\frac{1}{9} .$

D. $\frac{3 - \sqrt[3]{26}}{3} .$

Lời giải

Đáp án D

Gọi chiều cao và bán kính đường tròn đáy của chiếc ly lần lượt là h và R

Thể tích của chiếc ly $V = \frac{1}{3} π R^{2} h$ .

Khi để cốc theo chiều xuôi thì lượng nước trong cốc là hình nón có chiều cao và bán kính đường tròn đáy lần lượt là $\frac{h}{3}$ và $\frac{R}{3}$ .

Thể tích của lượng nước $V_{1} = \frac{1}{3} π {(\frac{R}{3})}^{2} (\frac{h}{3}) = \frac{V}{27}$ .

Thể tích phần không chứa nước $V_{2} = \frac{26 V}{27}$ .

* Khi úp ngược ly lại thì phần thể tích nước trong ly không đổi và lúc đó phần không chứa nước là hình nón. Gọi h ' và R ' lần lượt là chiều cao và bán kính đường tròn đáy của phần hình nón không chứa nước. Ta có $\frac{R^{'}}{R} = \frac{h^{'}}{h}$ và phần thể tích hình nón không chứa nước là

$\begin{array}{l} V_{2} = \frac{26}{26} . V \\ \Leftrightarrow \frac{1}{3} π {R^{'}}^{2} . h^{'} = \frac{26}{27} . (\frac{1}{3} π R^{2} h) \\ \Leftrightarrow \frac{{R^{'}}^{2} . h^{'}}{R^{2} . h} = \frac{26}{27} \\ \Leftrightarrow {(\frac{h^{'}}{h})}^{3} = \frac{26}{27} \\ \Leftrightarrow \frac{h^{'}}{h} = \frac{\sqrt[3]{26}}{3} \end{array}$