Câu hỏi:

18/08/2020 805

Cho hình chóp S.ABC có $S A = a, S B = b, S C = c$ . Một mặt phẳng $(α)$ đi qua trọng tâm của $Δ A B C$ , cắt các cạnh $S A, S B, S C$ lần lượt tại $A^{'}, B^{'}, C^{'}$ . Tìm giá trị nhỏ nhất của $\frac{1}{S {A^{'}}^{2}} + \frac{1}{S {B^{'}}^{2}} + \frac{1}{S {C^{'}}^{2}}$ .

A. $\frac{3}{a^{2} + b^{2} + c^{2}} .$

B. $\frac{\sqrt{2}}{a^{2} + b^{2} + c^{2}} .$

C. $\frac{2}{a^{2} + b^{2} + c^{2}} .$

D. $\frac{9}{a^{2} + b^{2} + c^{2}} .$

Xem lời giải

Câu hỏi trong đề: 20 Đề thi thử THPTQG môn Toán mới nhất cực hay có lời giải !!

Bắt đầu thi

Quảng cáo

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

Đáp án A

Giả sử $\vec{S A} = x \vec{S A^{'}}; \vec{S B} = y \vec{S B^{'}};$ $\vec{S C} = z \vec{S C^{'}}$ .

Gọi G là trọng tâm tam giác ABC $\Rightarrow \vec{G A} + \vec{G B} + \vec{G C} = 0$ .

$\Rightarrow 3 \vec{G S} + \vec{S A} + \vec{S B} + \vec{S C} = 0$

$\begin{array}{l} \Rightarrow \vec{S G} = \frac{\vec{S A}}{3} + \frac{\vec{S B}}{3} + \frac{\vec{S C}}{3} \\ \Rightarrow \vec{S G} = \frac{x}{3} . \vec{S A^{'}} + \frac{y}{3} . \vec{S B^{'}} + \frac{z}{3} . \vec{S C^{'}} (1) \end{array}$

Do $(A^{'} B^{'} C^{'})$ đi qua G nên ba vectơ $\vec{G A^{'}}; \vec{G B^{'}}; \vec{G C^{'}}$ đồng phẳng

Suy ra tồn tại 3 số $i; m; n, (i^{2} + m^{2} + n^{2} \neq 0)$ sao cho $i . \vec{G A^{'}} + m . \vec{G B^{'}} + n . \vec{G C^{'}} = 0$

$(i + m + n) . \vec{G S} + i . \vec{S A^{'}}$ $+ m . \vec{S B^{'}} + n . \vec{S C^{'}} = 0$

$\Rightarrow \vec{S G} = \frac{i}{i + m + n} \vec{S A^{'}} + \frac{m}{i + m + n} \vec{S B^{'}}$ $+ \frac{n}{i + m + n} . \vec{S C^{'}} (2)$

Do $S G; S A^{'}; S B^{'}; S C^{'}$ không đồng phẳng nên từ (1) và (2) ta có

$\frac{x}{3} = \frac{i}{i + m + n}; \frac{y}{3} = \frac{m}{i + m + n};$ $\frac{z}{3} = \frac{n}{i + m + n}$

$\frac{x + y + z}{3} = \frac{i + m + n}{i + m + n} = 1$ $\Rightarrow x + y + z = 3$

Ta có $\frac{1}{S {A^{'}}^{2}} + \frac{1}{S {B^{'}}^{2}} + \frac{1}{S {C^{'}}^{2}}$ $= \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} + \frac{z^{2}}{c^{2}}$

Áp dụng bất đẳng thức Bunyakovsky cho hai bộ số thực $(\frac{x}{a}; \frac{y}{b}; \frac{z}{c})$ và $(a; b; c)$ ta có .

$(\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} + \frac{z^{2}}{c^{2}})$ $(a^{2} + b^{2} + c^{2}) \geq {(x + y + z)}^{2}$

$\Leftrightarrow \frac{1}{S {A^{'}}^{2}} + \frac{1}{S {B^{'}}^{2}} + \frac{1}{S {C^{'}}^{2}}$ $\geq \frac{{(x + y + z)}^{2}}{a^{2} + b^{2} + c^{2}} = \frac{3}{a^{2} + b^{2} + c^{2}}$

Dấu “=” xảy ra khi $\frac{x^{2}}{a^{2}} = \frac{y^{2}}{b^{2}} = \frac{z^{2}}{c^{2}}$

Hot: 500+ Đề thi thử tốt nghiệp THPT các môn, ĐGNL các trường ĐH... file word có đáp án (2025). Tải ngay

Sách thầy cô Vietjack biên soạn:

Xem thêm »

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1

Phương trình $\sin x = \cos x$ chỉ có các nghiệm là

A. $x = \frac{π}{4} + k π, k \in ℤ$

B. $x = \frac{π}{4} + k 2 π, k \in ℤ$

C. $x = \pm \frac{π}{4} + k π, k \in ℤ$

D. $x = \pm \frac{π}{4} + k 2 π, k \in ℤ$

Lời giải

Đáp án A

$\begin{array}{l} \sin x = \cos x \\ \Leftrightarrow \cos (\frac{π}{2} - x) = \cos x \\ \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x = \frac{π}{2} - x + k 2 π \\ x = x - \frac{π}{2} + k 2 π \end{array} \\ \Leftrightarrow x = \frac{π}{4} + k π, (k \in ℤ) \end{array}$

Câu 2

Giá trị cực tiểu $y_{C T}$ của hàm số $y = x^{3} - 3 x^{2} + 4$ là

A. $y_{C T} = 0$

B. $y_{C T} = 1$

C. $y_{C T} = 4$

D. $y_{C T} = 2$

Lời giải

Đáp án A

$y^{'} = 3 x^{2} - 6 x$ Ta có $y^{'} = 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x = 0 \\ x = 2 \end{array}$ .

Do hàm số có hệ số nên đồ thị hàm số có dạng N, suy ra $x = 2$ là điểm cực tiểu của hàm $\Rightarrow y_{C T} = f (2) = 0$ số .

Câu 3

Một chiếc ly dạng hình nón (như hình vẽ). Người ta đổ một lượng nước vào ly sao cho chiều cao của lượng nước trong ly bằng $\frac{1}{3}$ chiều cao của ly (tính phần chứa nước). Hỏi nếu bịt kín miệng ly rồi úp ngược ly lại thì tỉ lệ chiều cao của mực nước và chiều cao của ly nước lúc đó bằng bao nhiêu?

A. $\frac{3 - 2 \sqrt{2}}{3} .$

B. $\frac{3 - \sqrt[3]{25}}{3} .$

C. $\frac{1}{9} .$

D. $\frac{3 - \sqrt[3]{26}}{3} .$

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 4

Đồ thị hàm số $y = \frac{x + 1}{\sqrt{9 - x^{2}}}$ có bao nhiêu tiệm cận

A. 0

B. 1.

C. 2

D. 3

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 5

Trong khai triển ${(1 + 2 x)}^{n} =$ $a_{0} + a_{1} x + ... + a_{n} x^{n}, n \in ℕ^{*}$ . Tìm số lớn nhất trong các hệ số $a_{0}, a_{1},..., a_{n}$ , biết $a_{0} + \frac{a_{1}}{2} + ... + \frac{a_{n}}{2^{n}} = 4096$

A. 126720

B. 213013

C. 130272

D. 130127

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 6

Một mảnh giấy hình chữ nhật có chiều dài là 12cm và chiều rộng là 6cm. Thực hiện thao tác gấp góc dưới bên phải sao cho đỉnh được gấp nằm trên cạnh chiều dài còn lại (như hình vẽ). Hỏi chiều dài L tối thiểu của nếp gấp là bao nhiêu?

A. $\min L = 6 \sqrt{2} c m .$

B. $\min L = \frac{9 \sqrt{3}}{2} c m .$

C. $\min L = \frac{7 \sqrt{3}}{2} c m .$

D. $\min L = 9 \sqrt{2} c m .$

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 7

Chọn mệnh đề sai trong các mệnh đề sau:

A. Hai mặt phẳng có một điểm chung thì chúng còn vô số điểm chung khác nữa.

B. Hai đường thẳng không song song, không cắt nhau thì chéo nhau

C. Nếu ba điểm phân biệt cùng thuộc hai mặt phẳng thì chúng thẳng hàng.

D. Không có mặt phẳng nào chứa cả hai đường thẳng a và b thì ta nói ai và b chéo nhau.

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Xem thêm các câu hỏi khác »

Toán

Văn

Vật lý

Hóa học

Lịch sử

Địa lý

Sinh học

Công nghệ

Tin học

Tiếng Anh

Giáo dục Kinh tế và Pháp luật

ĐHQG Hồ Chí Minh

ĐH Bách Khoa

ĐHQG Hà Nội

Bộ Công an

ĐHSP Hà Nội

Bằng lái xe

English Test

IT Test

Đại học

Toán

Văn

Vật lý

Hóa học

Lịch sử

Địa lý

Sinh học

Công nghệ

Tin học

Giáo dục Kinh tế và Pháp luật

Toán

Văn

Vật lý

Hóa học

Lịch sử

Địa lý

Sinh học

Công nghệ

Tin học

Giáo dục Kinh tế và Pháp luật

Toán

Văn

Vật lý

Hóa học

Lịch sử

Địa lý

Sinh học

Tin học

Giáo dục Kinh tế và Pháp luật

Global success

iLearn Smart World

Friends Global

Explore new worlds

Toán

Văn

Vật lý

Hóa học

Lịch sử

Địa lý

Sinh học

Công nghệ

Tin học

Giáo dục Quốc Phòng và An Ninh

Giáo dục Kinh tế và Pháp luật

Toán

Văn

Vật lý

Hóa học

Lịch sử

Địa lý

Sinh học

Công nghệ

Tin học

Giáo dục Quốc Phòng và An Ninh

Giáo dục Kinh tế và Pháp luật

Toán

Văn

Vật lý

Hóa học

Lịch sử