Câu hỏi:

18/08/2020 462

Cho hình chóp S.ABC có $S A = a, S B = b, S C = c$ . Một mặt phẳng $(α)$ đi qua trọng tâm của $Δ A B C$ , cắt các cạnh $S A, S B, S C$ lần lượt tại $A^{'}, B^{'}, C^{'}$ . Tìm giá trị nhỏ nhất của $\frac{1}{S {A^{'}}^{2}} + \frac{1}{S {B^{'}}^{2}} + \frac{1}{S {C^{'}}^{2}}$ .

A. $\frac{3}{a^{2} + b^{2} + c^{2}} .$

Đáp án chính xác

B. $\frac{\sqrt{2}}{a^{2} + b^{2} + c^{2}} .$

C. $\frac{2}{a^{2} + b^{2} + c^{2}} .$

D. $\frac{9}{a^{2} + b^{2} + c^{2}} .$

Xem lời giải

Câu hỏi trong đề: 20 Đề thi thử THPTQG môn Toán mới nhất cực hay có lời giải !!

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

Đáp án A

Giả sử $\vec{S A} = x \vec{S A^{'}}; \vec{S B} = y \vec{S B^{'}};$ $\vec{S C} = z \vec{S C^{'}}$ .

Gọi G là trọng tâm tam giác ABC $\Rightarrow \vec{G A} + \vec{G B} + \vec{G C} = 0$ .

$\Rightarrow 3 \vec{G S} + \vec{S A} + \vec{S B} + \vec{S C} = 0$

$\begin{array}{l} \Rightarrow \vec{S G} = \frac{\vec{S A}}{3} + \frac{\vec{S B}}{3} + \frac{\vec{S C}}{3} \\ \Rightarrow \vec{S G} = \frac{x}{3} . \vec{S A^{'}} + \frac{y}{3} . \vec{S B^{'}} + \frac{z}{3} . \vec{S C^{'}} (1) \end{array}$

Do $(A^{'} B^{'} C^{'})$ đi qua G nên ba vectơ $\vec{G A^{'}}; \vec{G B^{'}}; \vec{G C^{'}}$ đồng phẳng

Suy ra tồn tại 3 số $i; m; n, (i^{2} + m^{2} + n^{2} \neq 0)$ sao cho $i . \vec{G A^{'}} + m . \vec{G B^{'}} + n . \vec{G C^{'}} = 0$

$(i + m + n) . \vec{G S} + i . \vec{S A^{'}}$ $+ m . \vec{S B^{'}} + n . \vec{S C^{'}} = 0$

$\Rightarrow \vec{S G} = \frac{i}{i + m + n} \vec{S A^{'}} + \frac{m}{i + m + n} \vec{S B^{'}}$ $+ \frac{n}{i + m + n} . \vec{S C^{'}} (2)$

Do $S G; S A^{'}; S B^{'}; S C^{'}$ không đồng phẳng nên từ (1) và (2) ta có

$\frac{x}{3} = \frac{i}{i + m + n}; \frac{y}{3} = \frac{m}{i + m + n};$ $\frac{z}{3} = \frac{n}{i + m + n}$

$\frac{x + y + z}{3} = \frac{i + m + n}{i + m + n} = 1$ $\Rightarrow x + y + z = 3$

Ta có $\frac{1}{S {A^{'}}^{2}} + \frac{1}{S {B^{'}}^{2}} + \frac{1}{S {C^{'}}^{2}}$ $= \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} + \frac{z^{2}}{c^{2}}$

Áp dụng bất đẳng thức Bunyakovsky cho hai bộ số thực $(\frac{x}{a}; \frac{y}{b}; \frac{z}{c})$ và $(a; b; c)$ ta có .

$(\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} + \frac{z^{2}}{c^{2}})$ $(a^{2} + b^{2} + c^{2}) \geq {(x + y + z)}^{2}$

$\Leftrightarrow \frac{1}{S {A^{'}}^{2}} + \frac{1}{S {B^{'}}^{2}} + \frac{1}{S {C^{'}}^{2}}$ $\geq \frac{{(x + y + z)}^{2}}{a^{2} + b^{2} + c^{2}} = \frac{3}{a^{2} + b^{2} + c^{2}}$

Dấu “=” xảy ra khi $\frac{x^{2}}{a^{2}} = \frac{y^{2}}{b^{2}} = \frac{z^{2}}{c^{2}}$

Bình luận hoặc Báo cáo
về câu hỏi!

Câu 1:

Phương trình $\sin x = \cos x$ chỉ có các nghiệm là

A. $x = \frac{π}{4} + k π, k \in ℤ$

B. $x = \frac{π}{4} + k 2 π, k \in ℤ$

C. $x = \pm \frac{π}{4} + k π, k \in ℤ$

D. $x = \pm \frac{π}{4} + k 2 π, k \in ℤ$

Xem đáp án » 18/08/2020 44,719

Câu 2:

Giá trị cực tiểu $y_{C T}$ của hàm số $y = x^{3} - 3 x^{2} + 4$ là

A. $y_{C T} = 0$

B. $y_{C T} = 1$

C. $y_{C T} = 4$

D. $y_{C T} = 2$

Xem đáp án » 18/08/2020 18,171

Câu 3:

Một chiếc ly dạng hình nón (như hình vẽ). Người ta đổ một lượng nước vào ly sao cho chiều cao của lượng nước trong ly bằng $\frac{1}{3}$ chiều cao của ly (tính phần chứa nước). Hỏi nếu bịt kín miệng ly rồi úp ngược ly lại thì tỉ lệ chiều cao của mực nước và chiều cao của ly nước lúc đó bằng bao nhiêu?

A. $\frac{3 - 2 \sqrt{2}}{3} .$

B. $\frac{3 - \sqrt[3]{25}}{3} .$

C. $\frac{1}{9} .$

D. $\frac{3 - \sqrt[3]{26}}{3} .$

Xem đáp án » 18/08/2020 14,785

Câu 4:

Đồ thị hàm số $y = \frac{x + 1}{\sqrt{9 - x^{2}}}$ có bao nhiêu tiệm cận

A. 0

B. 1.

C. 2

D. 3

Xem đáp án » 18/08/2020 9,080

Câu 5:

Trong khai triển ${(1 + 2 x)}^{n} =$ $a_{0} + a_{1} x + ... + a_{n} x^{n}, n \in ℕ^{*}$ . Tìm số lớn nhất trong các hệ số $a_{0}, a_{1},..., a_{n}$ , biết $a_{0} + \frac{a_{1}}{2} + ... + \frac{a_{n}}{2^{n}} = 4096$

A. 126720

B. 213013

C. 130272

D. 130127

Xem đáp án » 18/08/2020 4,595

Câu 6:

Chọn mệnh đề sai trong các mệnh đề sau:

A. Hai mặt phẳng có một điểm chung thì chúng còn vô số điểm chung khác nữa.

B. Hai đường thẳng không song song, không cắt nhau thì chéo nhau

C. Nếu ba điểm phân biệt cùng thuộc hai mặt phẳng thì chúng thẳng hàng.

D. Không có mặt phẳng nào chứa cả hai đường thẳng a và b thì ta nói ai và b chéo nhau.

Xem đáp án » 18/08/2020 1,335

Câu 7:

Một mảnh giấy hình chữ nhật có chiều dài là 12cm và chiều rộng là 6cm. Thực hiện thao tác gấp góc dưới bên phải sao cho đỉnh được gấp nằm trên cạnh chiều dài còn lại (như hình vẽ). Hỏi chiều dài L tối thiểu của nếp gấp là bao nhiêu?

A. $\min L = 6 \sqrt{2} c m .$

B. $\min L = \frac{9 \sqrt{3}}{2} c m .$

C. $\min L = \frac{7 \sqrt{3}}{2} c m .$

D. $\min L = 9 \sqrt{2} c m .$

Xem đáp án » 18/08/2020 1,117

Xem thêm các câu hỏi khác »

Nhà sách VIETJACK:

Phương trình $\sin x = \cos x$ chỉ có các nghiệm là

Giá trị cực tiểu $y_{C T}$ của hàm số $y = x^{3} - 3 x^{2} + 4$ là

Đồ thị hàm số $y = \frac{x + 1}{\sqrt{9 - x^{2}}}$ có bao nhiêu tiệm cận

Trong khai triển ${(1 + 2 x)}^{n} =$ $a_{0} + a_{1} x + ... + a_{n} x^{n}, n \in ℕ^{*}$ . Tìm số lớn nhất trong các hệ số $a_{0}, a_{1},..., a_{n}$ , biết $a_{0} + \frac{a_{1}}{2} + ... + \frac{a_{n}}{2^{n}} = 4096$

Chọn mệnh đề sai trong các mệnh đề sau:

Bình luận

🔥 Đề thi HOT:

VIP +3 tháng ( 199,000 VNĐ )

VIP +6 tháng ( 299,000 VNĐ )

VIP +12 tháng ( 499,000 VNĐ )

Cho hình chóp S.ABC có SA=a,SB=b,SC=c. Một mặt phẳng α đi qua trọng tâm của ΔABC, cắt các cạnh SA,SB,SC lần lượt tại A',B',C'. Tìm giá trị nhỏ nhất của 1SA'2+1SB'2+1SC'2.

Nhà sách VIETJACK:

Phương trình sinx=cosx chỉ có các nghiệm là

Giá trị cực tiểu yCT của hàm số y=x3−3x2+4 là

Đồ thị hàm số y=x+19−x2 có bao nhiêu tiệm cận

Trong khai triển 1+2xn=a0+a1x+...+anxn, n∈ℕ*. Tìm số lớn nhất trong các hệ số a0,a1,...,an, biết a0+a12+...+an2n=4096

Chọn mệnh đề sai trong các mệnh đề sau:

Bình luận

🔥 Đề thi HOT:

VIP +3 tháng ( 199,000 VNĐ )

VIP +6 tháng ( 299,000 VNĐ )

VIP +12 tháng ( 499,000 VNĐ )

CHỌN BỘ SÁCH BẠN MUỐN XEM

Đăng ký

Đăng nhập

Quên mật khẩu

Phương trình $\sin x = \cos x$ chỉ có các nghiệm là

Giá trị cực tiểu $y_{C T}$ của hàm số $y = x^{3} - 3 x^{2} + 4$ là

Đồ thị hàm số $y = \frac{x + 1}{\sqrt{9 - x^{2}}}$ có bao nhiêu tiệm cận

Trong khai triển ${(1 + 2 x)}^{n} =$ $a_{0} + a_{1} x + ... + a_{n} x^{n}, n \in ℕ^{*}$ . Tìm số lớn nhất trong các hệ số $a_{0}, a_{1},..., a_{n}$ , biết $a_{0} + \frac{a_{1}}{2} + ... + \frac{a_{n}}{2^{n}} = 4096$