Cho hàm số y=fxcó đạo hàm liên tục trên đoạn 0;1 và f0+f1=0. Biết rằng tích phân ∫01f2xdx=12,∫01f'x.cosπxdx=π2.Tính tích phân ∫01fxdx? A. 3π2. B. 2π. C. π. D. 1π.

Đáp án B.Ta có∫01f'x.cosπxdx=∫01cosπxdfx=fx.cosπx01−∫01fx.cosπx'dx =−f1+f0+π∫01fx.sinπxdx=π2⇒∫01fx.sinπxdx=12. Xét ∫01fx+k.sinπx2dx=0⇔∫01f2xdx+2k.∫01fx.sinπxdx+k2.∫01sin2πxdx=0 ⇔12k2+2k.12+12=0⇔k+12=0⇔k=−1.Suy ra ∫01fx−sinπx2dx=0. Vậyfx=sinπx⇒∫01fxdx=∫01sinπxdx=2π.

Câu hỏi:

22/08/2020 157

Cho hàm số $y = f (x)$ có đạo hàm liên tục trên đoạn $[0; 1]$ và $f (0) + f (1) = 0.$ Biết rằng tích phân $\int_{0}^{1} f^{2} (x) d x = \frac{1}{2}, \int_{0}^{1} f' (x) . c o s π x d x = \frac{π}{2} .$ Tính tích phân $\int_{0}^{1} f (x) d x ?$

A. $\frac{3 π}{2} .$

B. $\frac{2}{π} .$

Đáp án chính xác

C. $π .$

D. $\frac{1}{π} .$

Xem lời giải

Câu hỏi trong đề: Tổng hợp đề thi thử THPTQG môn Toán mới nhất cực hay có lời giải !!

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

Đáp án B.

Ta có $\int_{0}^{1} f' (x) . c o s π x d x$

$= \int_{0}^{1} c o s π x d (f (x)) = f (x) . c o s π x |_{0}^{1} - \int_{0}^{1} f (x) . {(c o s π x)}^{'} d x$

$= - [f (1) + f (0)] + π \int_{0}^{1} f (x) . \sin π x d x = \frac{π}{2} \Rightarrow \int_{0}^{1} f (x) . \sin π x d x = \frac{1}{2} .$

Xét $\int_{0}^{1} {[f (x) + k . \sin π x]}^{2} d x = 0$

$\Leftrightarrow \int_{0}^{1} f^{2} (x) d x + 2 k . \int_{0}^{1} f (x) . \sin π x d x + k^{2} . \int_{0}^{1} \sin^{2} (π x) d x = 0$

$\Leftrightarrow \frac{1}{2} k^{2} + 2 k . \frac{1}{2} + \frac{1}{2} = 0 \Leftrightarrow {(k + 1)}^{2} = 0 \Leftrightarrow k = - 1.$

Suy ra $\int_{0}^{1} {[f (x) - \sin π x]}^{2} d x = 0.$

Vậy $f (x) = \sin π x \Rightarrow \int_{0}^{1} f (x) d x = \int_{0}^{1} \sin π x d x = \frac{2}{π} .$

Bình luận

Câu 1:

Cho dãy số xác định bởi $u_{1} = 1; u_{n + 1} = \frac{1}{3} (2 u_{n} + \frac{n - 1}{n^{2} + 3 n + 2}); n \in ℕ * .$ Khi đó $u_{2018}$ bằng

A. $u_{2018} = \frac{2^{2016}}{3^{2017}} + \frac{1}{2019} .$

B. $u_{2018} = \frac{2^{2018}}{3^{2017}} + \frac{1}{2019} .$

C. $u_{2018} = \frac{2^{2017}}{3^{2018}} + \frac{1}{2019} .$

D. $u_{2018} = \frac{2^{2017}}{3^{2018}} + \frac{1}{2019} .$

Xem đáp án » 22/08/2020 31,720

Câu 2:

Biết rằng hai đường tiệm cận của đồ thị hàm số $y = \frac{2 x + 1}{x - m}$ (m là tham số thực) tạo với hai trục tọa độ một hình chữ nhật có diện tích bằng 2. Giá trị của m bằng bao nhiêu ?

A. $m = \pm 1$

B. $m = \pm 2$

C. $m = 2$

D. $m = 1$

Xem đáp án » 22/08/2020 2,580

Câu 3:

Cho đường thẳng $d : \frac{x - 2}{- 1} = \frac{y + 1}{- 1} = \frac{z + 1}{1}$ và mặt phẳng $(P) : 2 x + y - 2 z = 0.$ Đường thẳng $∆$ nằm trong (P), cắt d và vuông góc với d có phương trình là:

A. $\{\begin{cases} x = 1 - t \\ y = - 2 + t \\ z = - t \end{cases} .$

B. $\{\begin{cases} x = 1 - t \\ y = - 2 \\ z = - t \end{cases} .$

C. $\{\begin{cases} x = 1 - t \\ y = - 2 \\ z = t \end{cases} .$

D. $\{\begin{cases} x = 1 + t \\ y = - 2 \\ z = - t \end{cases} .$

Xem đáp án » 22/08/2020 2,277

Câu 4:

Cho cấp số cộng $(u_{n})$ với số hạng đầu là $u_{1} = - 2017$ và công sai d = 3. Bắt đầu từ số hạng nào trở đi mà các số hạng của cấp số cộng đều nhận giá trị dương?

A. $u_{674} .$

B. $u_{672} .$

C. $u_{675} .$

D. $u_{673} .$

Xem đáp án » 21/08/2020 2,154

Câu 5:

Tính thể tích V của vật thể tròn xoay sinh ra khi cho hình phẳng giới hạn bởi các đường $y = \frac{1}{x}, y = 0, x = 1, x = a, (a > 1)$ quay xung quanh trục Ox.

A. $V = 1 - \frac{1}{a}$

B. $V = (1 - \frac{1}{a}) π$

C. $V = (1 + \frac{1}{a}) π$

D. $V = 1 + \frac{1}{a}$

Xem đáp án » 21/08/2020 2,004

Câu 6:

Một người gửi tiết kiệm ngân hàng theo hình thức gửi góp hang tháng. Lãi suất tiết kiệm gửi góp cố định 0,55%/tháng. Lần đầu tiên người đó gửi 2.000.000 đồng. Cứ sau mỗi tháng người đó gửi nhiều hơn số tiền đã gửi trước đó là 200.000 đồng. Hỏi sau 5 năm (kể từ lần gửi đầu tiên) người đó nhận được tổng số tiền cả vốn lẫn lãi là bao nhiêu?

A. 618051620 đồng

B. 484692514 đồng

C. 597618514 đồng

D. 539447312 đồng

Xem đáp án » 22/08/2020 1,863

Câu 7:

Tập xác định của hàm số $y = \log_{3} (x^{2} + 2 x)$ là:

A. $[- 2; 0] .$

B. $(- \infty; - 2) \cup (0; + \infty) .$

C. $(- 2; 0) .$

D. $(- \infty; - 2] \cup [0; + \infty] .$

Xem đáp án » 21/08/2020 1,695

Xem thêm các câu hỏi khác »

Cho hàm số $y = f (x)$ có đạo hàm liên tục trên đoạn $[0; 1]$ và $f (0) + f (1) = 0.$ Biết rằng tích phân $\int_{0}^{1} f^{2} (x) d x = \frac{1}{2}, \int_{0}^{1} f' (x) . c o s π x d x = \frac{π}{2} .$ Tính tích phân $\int_{0}^{1} f (x) d x ?$

Nhà sách VIETJACK:

Bình luận

Cho dãy số xác định bởi $u_{1} = 1; u_{n + 1} = \frac{1}{3} (2 u_{n} + \frac{n - 1}{n^{2} + 3 n + 2}); n \in ℕ * .$ Khi đó $u_{2018}$ bằng

Biết rằng hai đường tiệm cận của đồ thị hàm số $y = \frac{2 x + 1}{x - m}$ (m là tham số thực) tạo với hai trục tọa độ một hình chữ nhật có diện tích bằng 2. Giá trị của m bằng bao nhiêu ?

Cho đường thẳng $d : \frac{x - 2}{- 1} = \frac{y + 1}{- 1} = \frac{z + 1}{1}$ và mặt phẳng $(P) : 2 x + y - 2 z = 0.$ Đường thẳng $∆$ nằm trong (P), cắt d và vuông góc với d có phương trình là:

Cho cấp số cộng $(u_{n})$ với số hạng đầu là $u_{1} = - 2017$ và công sai d = 3. Bắt đầu từ số hạng nào trở đi mà các số hạng của cấp số cộng đều nhận giá trị dương?

Tính thể tích V của vật thể tròn xoay sinh ra khi cho hình phẳng giới hạn bởi các đường $y = \frac{1}{x}, y = 0, x = 1, x = a, (a > 1)$ quay xung quanh trục Ox.

Tập xác định của hàm số $y = \log_{3} (x^{2} + 2 x)$ là:

VIP +3 tháng ( 199,000 VNĐ )

VIP +6 tháng ( 299,000 VNĐ )

VIP +12 tháng ( 499,000 VNĐ )

🔥 Đề thi HOT:

Nhà sách VIETJACK:

Bình luận

Tập xác định của hàm số y=log3(x2+2x)<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>y</mi><mo>=</mo><msub><mi>log</mi><mn>3</mn></msub><mfenced><mrow><msup><mi>x</mi><mn>2</mn></msup><mo>+</mo><mn>2</mn><mi>x</mi></mrow></mfenced></math> là:

VIP +3 tháng ( 199,000 VNĐ )

VIP +6 tháng ( 299,000 VNĐ )

VIP +12 tháng ( 499,000 VNĐ )

🔥 Đề thi HOT:

CHỌN BỘ SÁCH BẠN MUỐN XEM

Đăng ký

Đăng nhập

Quên mật khẩu

Tập xác định của hàm số $y = \log_{3} (x^{2} + 2 x)$ là: