Cho hàm số y=fxcó đạo hàm liên tục trên đoạn 0;1 và f0+f1=0. Biết rằng tích phân ∫01f2xdx=12,∫01f'x.cosπxdx=π2.Tính tích phân ∫01fxdx? A. 3π2. B. 2π. C. π. D. 1π.

Đáp án B.Ta có∫01f'x.cosπxdx=∫01cosπxdfx=fx.cosπx01−∫01fx.cosπx'dx =−f1+f0+π∫01fx.sinπxdx=π2⇒∫01fx.sinπxdx=12. Xét ∫01fx+k.sinπx2dx=0⇔∫01f2xdx+2k.∫01fx.sinπxdx+k2.∫01sin2πxdx=0 ⇔12k2+2k.12+12=0⇔k+12=0⇔k=−1.Suy ra ∫01fx−sinπx2dx=0. Vậyfx=sinπx⇒∫01fxdx=∫01sinπxdx=2π.

Câu hỏi:

22/08/2020 190

Cho hàm số $y = f (x)$ có đạo hàm liên tục trên đoạn $[0; 1]$ và $f (0) + f (1) = 0.$ Biết rằng tích phân $\int_{0}^{1} f^{2} (x) d x = \frac{1}{2}, \int_{0}^{1} f' (x) . c o s π x d x = \frac{π}{2} .$ Tính tích phân $\int_{0}^{1} f (x) d x ?$

A. $\frac{3 π}{2} .$

B. $\frac{2}{π} .$

C. $π .$

D. $\frac{1}{π} .$

Xem lời giải

Câu hỏi trong đề: Tổng hợp đề thi thử THPTQG môn Toán mới nhất cực hay có lời giải !!

Bắt đầu thi

Quảng cáo

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

Đáp án B.

Ta có $\int_{0}^{1} f' (x) . c o s π x d x$

$= \int_{0}^{1} c o s π x d (f (x)) = f (x) . c o s π x |_{0}^{1} - \int_{0}^{1} f (x) . {(c o s π x)}^{'} d x$

$= - [f (1) + f (0)] + π \int_{0}^{1} f (x) . \sin π x d x = \frac{π}{2} \Rightarrow \int_{0}^{1} f (x) . \sin π x d x = \frac{1}{2} .$

Xét $\int_{0}^{1} {[f (x) + k . \sin π x]}^{2} d x = 0$

$\Leftrightarrow \int_{0}^{1} f^{2} (x) d x + 2 k . \int_{0}^{1} f (x) . \sin π x d x + k^{2} . \int_{0}^{1} \sin^{2} (π x) d x = 0$

$\Leftrightarrow \frac{1}{2} k^{2} + 2 k . \frac{1}{2} + \frac{1}{2} = 0 \Leftrightarrow {(k + 1)}^{2} = 0 \Leftrightarrow k = - 1.$

Suy ra $\int_{0}^{1} {[f (x) - \sin π x]}^{2} d x = 0.$

Vậy $f (x) = \sin π x \Rightarrow \int_{0}^{1} f (x) d x = \int_{0}^{1} \sin π x d x = \frac{2}{π} .$

Hot: 500+ Đề thi thử tốt nghiệp THPT các môn, ĐGNL các trường ĐH... file word có đáp án (2025). Tải ngay

Sách thầy cô Vietjack biên soạn:

Xem thêm »

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1

Cho dãy số xác định bởi $u_{1} = 1; u_{n + 1} = \frac{1}{3} (2 u_{n} + \frac{n - 1}{n^{2} + 3 n + 2}); n \in ℕ * .$ Khi đó $u_{2018}$ bằng

A. $u_{2018} = \frac{2^{2016}}{3^{2017}} + \frac{1}{2019} .$

B. $u_{2018} = \frac{2^{2018}}{3^{2017}} + \frac{1}{2019} .$

C. $u_{2018} = \frac{2^{2017}}{3^{2018}} + \frac{1}{2019} .$

D. $u_{2018} = \frac{2^{2017}}{3^{2018}} + \frac{1}{2019} .$

Lời giải

Đáp án A.

Ta có

$\frac{n - 1}{n^{2} + 3 n + 2} = \frac{n - 1}{(n + 1) (n + 2)} = \frac{A}{n + 1} + \frac{B}{n + 2} \Rightarrow \{\begin{cases} A + B = 1 \\ 2 A + B = - 1 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} A = - 2 \\ B = 3 \end{cases} .$

Lại có $3 u_{n + 1} = 2 u_{n} - \frac{2}{n + 1} + \frac{3}{n + 2}$

$\Leftrightarrow 3 (u_{n + 1} - \frac{1}{n + 2}) = 2 (u_{n} - \frac{1}{n + 1}) .$

Đặt $v_{n} = u_{n} - \frac{1}{n + 1} \Rightarrow v_{1} = \frac{1}{2}$

và $v_{n} = u_{n} - \frac{1}{n + 1} \overset{}{\to} v_{n}$

là cấp số nhân với $v_{1} = \frac{1}{2}; q = \frac{1}{3}$

$\Rightarrow v_{n} = \frac{1}{2} . {(\frac{2}{3})}^{n - 1} = \frac{3}{4} . {(\frac{2}{3})}^{n} \to u_{n} = v_{n} + \frac{1}{n + 1} = \frac{3}{4} . {(\frac{2}{3})}^{n} + \frac{1}{n + 1} = \frac{2^{n - 2}}{3^{n - 1}} + \frac{1}{n + 1} .$

$\Rightarrow u_{2018} = (\frac{2^{n - 2}}{3^{n - 1}} + \frac{1}{n + 1}) |\begin{array}{l} _{n = 2018} \end{array} = \frac{2^{2016}}{3^{2017}} + \frac{1}{2019} .$

Câu 2

Biết rằng hai đường tiệm cận của đồ thị hàm số $y = \frac{2 x + 1}{x - m}$ (m là tham số thực) tạo với hai trục tọa độ một hình chữ nhật có diện tích bằng 2. Giá trị của m bằng bao nhiêu ?

A. $m = \pm 1$

B. $m = \pm 2$

C. $m = 2$

D. $m = 1$

Lời giải

Đáp án A.

Đồ thị hàm số $y = \frac{2 x + 1}{x - m}$ có hai đường tiệm cận là $\{\begin{cases} x = m \\ y = 2 \end{cases}$

Diện tích hình chữ nhật được tạo thành là $S = 2 |m| = 2 \Rightarrow m = \pm 1.$

Câu 3

Một người gửi tiết kiệm ngân hàng theo hình thức gửi góp hang tháng. Lãi suất tiết kiệm gửi góp cố định 0,55%/tháng. Lần đầu tiên người đó gửi 2.000.000 đồng. Cứ sau mỗi tháng người đó gửi nhiều hơn số tiền đã gửi trước đó là 200.000 đồng. Hỏi sau 5 năm (kể từ lần gửi đầu tiên) người đó nhận được tổng số tiền cả vốn lẫn lãi là bao nhiêu?

A. 618051620 đồng

B. 484692514 đồng

C. 597618514 đồng

D. 539447312 đồng

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 4

Cho đường thẳng $d : \frac{x - 2}{- 1} = \frac{y + 1}{- 1} = \frac{z + 1}{1}$ và mặt phẳng $(P) : 2 x + y - 2 z = 0.$ Đường thẳng $∆$ nằm trong (P), cắt d và vuông góc với d có phương trình là:

A. $\{\begin{cases} x = 1 - t \\ y = - 2 + t \\ z = - t \end{cases} .$

B. $\{\begin{cases} x = 1 - t \\ y = - 2 \\ z = - t \end{cases} .$

C. $\{\begin{cases} x = 1 - t \\ y = - 2 \\ z = t \end{cases} .$

D. $\{\begin{cases} x = 1 + t \\ y = - 2 \\ z = - t \end{cases} .$

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 5

Tính thể tích V của vật thể tròn xoay sinh ra khi cho hình phẳng giới hạn bởi các đường $y = \frac{1}{x}, y = 0, x = 1, x = a, (a > 1)$ quay xung quanh trục Ox.

A. $V = 1 - \frac{1}{a}$

B. $V = (1 - \frac{1}{a}) π$

C. $V = (1 + \frac{1}{a}) π$

D. $V = 1 + \frac{1}{a}$

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 6

Cho cấp số cộng $(u_{n})$ với số hạng đầu là $u_{1} = - 2017$ và công sai d = 3. Bắt đầu từ số hạng nào trở đi mà các số hạng của cấp số cộng đều nhận giá trị dương?

A. $u_{674} .$

B. $u_{672} .$

C. $u_{675} .$

D. $u_{673} .$

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 7

Tập xác định của hàm số $y = \log_{3} (x^{2} + 2 x)$ là:

A. $[- 2; 0] .$

B. $(- \infty; - 2) \cup (0; + \infty) .$

C. $(- 2; 0) .$

D. $(- \infty; - 2] \cup [0; + \infty] .$

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Xem thêm các câu hỏi khác »

Cho hàm số y=fxcó đạo hàm liên tục trên đoạn 0;1 và f0+f1=0. Biết rằng tích phân ∫01f2xdx=12,∫01f'x.cosπxdx=π2.Tính tích phân ∫01fxdx?

Cho dãy số xác định bởi u1=1;un+1=132un+n−1n2+3n+2;n∈ℕ*. Khi đó u2018 bằng

Biết rằng hai đường tiệm cận của đồ thị hàm số y=2x+1x−m (m là tham số thực) tạo với hai trục tọa độ một hình chữ nhật có diện tích bằng 2. Giá trị của m bằng bao nhiêu ?

Cho đường thẳng d:x−2−1=y+1−1=z+11 và mặt phẳng P:2x+y−2z=0. Đường thẳng ∆ nằm trong (P), cắt d và vuông góc với d có phương trình là:

Tính thể tích V của vật thể tròn xoay sinh ra khi cho hình phẳng giới hạn bởi các đường y=1x,y=0,x=1,x=a,a>1 quay xung quanh trục Ox.

Cho cấp số cộng un với số hạng đầu là u1=−2017 và công sai d = 3. Bắt đầu từ số hạng nào trở đi mà các số hạng của cấp số cộng đều nhận giá trị dương?

Tập xác định của hàm số y=log3x2+2x là:

CHỌN BỘ SÁCH BẠN MUỐN XEM

Đăng ký

Đăng nhập

Quên mật khẩu

Cho hàm số $y = f (x)$ có đạo hàm liên tục trên đoạn $[0; 1]$ và $f (0) + f (1) = 0.$ Biết rằng tích phân $\int_{0}^{1} f^{2} (x) d x = \frac{1}{2}, \int_{0}^{1} f' (x) . c o s π x d x = \frac{π}{2} .$ Tính tích phân $\int_{0}^{1} f (x) d x ?$

Cho dãy số xác định bởi $u_{1} = 1; u_{n + 1} = \frac{1}{3} (2 u_{n} + \frac{n - 1}{n^{2} + 3 n + 2}); n \in ℕ * .$ Khi đó $u_{2018}$ bằng

Biết rằng hai đường tiệm cận của đồ thị hàm số $y = \frac{2 x + 1}{x - m}$ (m là tham số thực) tạo với hai trục tọa độ một hình chữ nhật có diện tích bằng 2. Giá trị của m bằng bao nhiêu ?

Cho đường thẳng $d : \frac{x - 2}{- 1} = \frac{y + 1}{- 1} = \frac{z + 1}{1}$ và mặt phẳng $(P) : 2 x + y - 2 z = 0.$ Đường thẳng $∆$ nằm trong (P), cắt d và vuông góc với d có phương trình là:

Tính thể tích V của vật thể tròn xoay sinh ra khi cho hình phẳng giới hạn bởi các đường $y = \frac{1}{x}, y = 0, x = 1, x = a, (a > 1)$ quay xung quanh trục Ox.

Cho cấp số cộng $(u_{n})$ với số hạng đầu là $u_{1} = - 2017$ và công sai d = 3. Bắt đầu từ số hạng nào trở đi mà các số hạng của cấp số cộng đều nhận giá trị dương?

Tập xác định của hàm số $y = \log_{3} (x^{2} + 2 x)$ là: