Một khối nón có diện tích toàn phần bằng $10\mathrm{\pi }$ và diện tích xung quanh bằng $6\mathrm{\pi }$. Tính thể tích V của khối nón đó.

Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác đều cạnh bằng 1, SA vuông góc với đáy, góc giữa mặt bên (SBC) và đáy bằng 60$°$. Diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC bằng bao nhiêu?

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho ba điểm A(0;1;1), B(3;0;-1), C(0;21;-19) và mặt cầu $\left(S\right):{\left(x-1\right)}^2+{\left(y-1\right)}^2+{\left(z-1\right)}^2=1$. M(a;b;c) là điểm thuộc mặt cầu (S) sao cho biểu thức $T=3M{A}^2+2M{B}^2+M{C}^2$ đạt giá trị nhỏ nhất. Tính tổng a + b + c.

Cho hình phẳng (H) giới hạn bởi các đường $y=\sqrt{\ln x},y=0,x=1 và x=k\left(k>1\right)$. Gọi $V_k$ là thể tích khối tròn xoay thu được khi quay hình (H) quanh trục Ox. Biết rằng $V_k=\mathrm{\pi }$, hãy chọn khẳng định đúng?

Cho đường tròn tâm O đường kính AB = 8. Trên AB lấy 2 điểm M, N đối xứng nhau qua O sao cho MN = 4. Qua M, N kẻ 2 dây cung PQ và EF cùng vuông góc với AB. Tính diện tích S phần giới hạn bới đường tròn và 2 dây cung PQ, EF (phần chứa điểm O ).

Một hãng dược phẩm cần một số lọ đựng thuốc dạng hình trụ với dung tích $16\mathrm{\pi } {\mathrm{cm}}^3$. Tính bán kính đáy R của lọ để ít tốn nguyên liệu sản xuất lọ nhất.

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho bốn điểm A(1;0;0), B(0;3;0), C(0;0;2), D(1;3;-2). Hỏi có tất cả bao nhiêu mặt phẳng cách đều 5 điểm O, A, B, C, D (O là gốc tọa độ )?

Trên mặt phẳng tọa độ Oxy, xét tam giác vuông OAB với A chạy trên trục hoành và có hoành độ dương; B chạy trên trục tung và có tung độ âm sao cho OA + OB = 1. Hỏi thể tích lớn nhất của vật thể tạo thành khi quay tam giác OAB quanh trục Oy bằng bao nhiêu?