Cho lăng trụ ABC.A′B′C′ có đáy ABC là tam giác đều cạnh 2a. Hình chiếu vuông góc của điểm A′ lên mặt phẳng (ABC) trùng với tâm O của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC, biết $O{A}^{\text{'}}=a.$ Tính theo a thể tích V của khối lăng trụ đã cho.

Cho các mệnh đề sau:

(1) Hai mặt phẳng phân biệt cùng song song với một đường thẳng thì chúng song song với nhau.

(2) Hai mặt phẳng cùng song song với một mặt phẳng thứ ba thì chúng song song với nhau.

(3) Bất kì đường thẳng nào cắt một trong hai mặt phẳng song song thì nó cũng cắt mặt phẳng còn lại.

Số mệnh đề sai là:

Trong không gian Oxyz, cho tứ diện ABCD trong đó $A\left(2;3;1\right),B\left(4;1;-2\right),C\left(6;3;7\right),D\left(3;-2;1\right).$ Tính độ dài đường cao kẻ từ đỉnh D của tứ diện.

Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, cạnh bên SA vuông góc với mặt đáy, SA=a. Gọi M là trung điểm của SB. Góc giữa AM và BD bằng.

Cho khối chóp S.ABC. Gọi G là trọng tâm của tam giác SBC. Mặt phẳng (α) qua AG và song song với BC cắt SB,SC lần lượt tại I,J. Tính tỉ số thể tích của hai khối tứ diện SAIJ và SABC.

Cho tứ diện OABC có OA,OB,OC đội một vuông góc, $OA=a,OB=b,OC=c$. Tính khoảng cách d từ O tới mặt phẳng (ABC).

Gọi S là diện tích hình phẳng (H) giới hạn bởi các đường $y=f\left(x\right),$trục hoành và hai đường thẳng $x=-\mathrm{2,}x=1$ (như hình vẽ). Đặt $a=\underset{-2}{\overset{0}{}}f\left(x\right),b=\underset{0}{\overset{1}{}}f\left(x\right)dx,$ mệnh đề nào dưới đây là đúng?

Tính giá trị của biểu thức $P={\left(3+2\sqrt{2}\right)}^{2018}{\left(2\sqrt{2}-3\right)}^{2017}.$