Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng $\left(\mathrm{P}\right):\mathrm{x}-\mathrm{y}+\mathrm{z}+4=0$ và mặt cầu $\left(\mathrm{S}\right):{\mathrm{x}}^2+{\left(\mathrm{y}-1\right)}^2+{\left(\mathrm{z}-3\right)}^2=12$. Khẳng định nào sau đây là đúng về vị trí tương đối của (P) và (S)?

Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’. Gọi M là trung điểm của DD’ (tham khảo hình vẽ dưới đây). Tính cosin của góc giữa hai đường thẳng B’C và C’M.

Tìm số nghiệm của phương trình $\sin \left(\mathrm{cosx}\right)=0$ trên đoạn x∈[0;2π].

Tổng hai nghiệm dương liên tiếp nhỏ nhất của phương trình $\cos 4\mathrm{x}+\frac{1}{2}=0$ là

Cho tứ diện SABC có tam giác ABC vuông tại B, $\mathrm{AB}=\mathrm{a},\mathrm{BC}=\mathrm{a}\sqrt{3}$và $\mathrm{SA}=\mathrm{a}\sqrt{2}$, $\mathrm{SB}=\mathrm{a}\sqrt{2},\mathrm{SC}=\mathrm{a}\sqrt{5}$. Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện S.ABC.

Biết rằng phương trình $3^x{.5}^{\frac{1}{2x-1}}=15$ có hai nghiệm thực phân biệt ${\text{x}}_1,x_2$. Tính $x_1{x}_2$.

Tìm giá trị lớn nhất của hàm số $\mathrm{y}=\mathrm{sinxcosx}$ trên đoạn $\left[0;\frac{\mathrm{\pi }}{2}\right]$.

Một người thợ thiết kế một bể các hình hộp chữ nhật có đáy nhưng không có nắp đậy, có chiều cao là 75cm, thể tích bể là $600000{\mathrm{cm}}^3$. Người thợ dùng loại kính để sử dụng làm mặt bên có giá thành 700000 đồng/${\mathrm{m}}^2$ và loại kính để làm mặt đáy có giá thành 1000000 đồng/${\mathrm{m}}^2$. Giả sử phần tiếp xúc giữa các mặt bên là không đáng kể. Số tiền mua kính ít nhất để hoàn thành bể cá là