Tìm m để phương trình: ${\left(x^2+2x+4\right)}^2-2m\left(x^2+2x+4\right)+4m-1=0$ có đúng hai nghiệm

Đặt $t=x^2+2x+4={\left(x+1\right)}^2+3\ge 3$, phương trình trở thành

$t^2-2mt+4m-1=0 \left(2\right)$

Nhận xét: Ứng với mỗi nghiệm $t>3$ của phương trình (2) cho ta hai nghiệm của phương trình (1). Do đó phương trình (1) có đúng hai nghiệm khi phương trình (2) có đúng một nghiệm $t>3$

$$\begin{gathered} \iff \left[\begin{array}{c}\left\{\begin{array}{c}\Delta \text{'}=0\\ x=-\frac{b}{2a}>3\end{array}\right.\\ \left\{\begin{array}{c}\Delta \text{'}>0\\ af\left(3\right)<0\end{array}\right.\end{array}\right.\iff \left[\begin{array}{c}\left\{\begin{array}{c}{m}^2-4m+1=0\\ m>3\end{array}\right.\\ \left\{\begin{array}{c}{m}^2-4m+1>0\\ 1.\left(3^2-2m.3+4m-1\right)<0\end{array}\right.\end{array}\right. \\ TH1: \left\{\begin{array}{c}{m}^2-4m+1=0\\ m>3\end{array}\right. \\ {m}^2-4m+1=0 \end{gathered}$$

$\iff \left[\begin{array}{c}m=2+\sqrt{3}( thỏa mãn)\\ m=2-\sqrt{3}\left(loại\right) \end{array}\right.$

TH2: $\left\{\begin{array}{l}{m}^2-m+1>0\\ 3^2-2m.3+4m-1<0\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}m>2+\sqrt{3} hoặc m<2-\sqrt{3}\\ 8-2m<0\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}m>2+\sqrt{3} hoặc m<2-\sqrt{3}\\ m>4\end{array}\right.\iff m>4$

Vậy với $m = 2+\sqrt{3}$ hoặc m>4 thì phương trình đã cho có đúng hai nghiệm.

Đáp án cần chọn là: D