Một chiếc cáp treo chở khách từ điểm A cách chân núi (điểm B) 2,1 dặm đến đỉnh núi (điểm P), như hình vẽ dưới. Các góc AP và BP so với mặt đất lần lượt là $\mathrm{\alpha }={31}^0$ và $\mathrm{\beta }={65}^0$. Tìm khoảng cách từ A đến P (chọn phương án đúng nhất).

Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD. Gọi N là trung điểm của SB, M là điểm đối xứng với B qua A. Mặt phẳng (MNC) chia khối chóp S.ABCD thành hai phần có thể tích lần lượt là ${\mathrm{V}}_1,{\mathrm{V}}_2$ với ${\mathrm{V}}_1<{\mathrm{V}}_2$. Tính tỉ số $\frac{{\mathrm{V}}_1}{{\mathrm{V}}_2}$.

Cho hình chóp tam giác đều S.ABC đỉnh S, có độ dài cạnh đáy bằng a. Gọi M, N lần lượt là trung điểm các cạnh SB và SC. Tính theo a diện tích tam giác AMN biết rằng mặt phẳng (AMN) vuông góc với mặt phẳng (SBC).

Tính đạo hàm của hàm số $\mathrm{y}=\sin \left(\mathrm{lnx}\right)$.

Gọi A,B,C là các điểm biểu diễn số phức ${\mathrm{z}}_1,{\mathrm{z}}_2,{\mathrm{z}}_3$ là nghiệm của phương trình $\mathrm{z}\left(\mathrm{z}-1-2\mathrm{i}\right)\left(\mathrm{z}-2+\mathrm{i}\right)=0$. Tính diện tích S của tam giác ABC.

Cho hai đường thẳng d và d’ song song với nhau. Trên d lấy 5 điểm phân biệt, trên d’ lấy 7 điểm phân biệt. Hỏi có bao nhiêu tam giác mà các đỉnh của nó được lấy từ các điểm trên hai đường thẳng d và d’.

Một đoàn tàu chuyển động thẳng khởi hành từ một nhà ga. Quãng đường s (mét) đi được của đoàn tàu là một hàm số theo thời gian t (giây) $\mathrm{s}\left(\mathrm{t}\right)=-2{\mathrm{t}}^3+6{\mathrm{t}}^2+1$. Thời điểm t (giây) mà tại đó vận tốc $\mathrm{v}\left(\mathrm{m}/\mathrm{s}\right)$ của chuyển động đạt giá trị lớn nhất là

$\underset{\mathrm{x}\to 0}{\lim }\frac{1-\cos 2\mathrm{x}}{{\mathrm{x}}^2}$ bằng