Cho hệ phương trình $\left\{\begin{array}{c}\left(2m+1\right)x+y=2m-2\\ m^{2}x-y=m^2-3m\end{array}\right.$. Với $m\ne -1$ và $m\in Z$. Có bao nhiêu giá trị của m để hệ phương trình có nghiệm nguyên?

Ta có:

$D=\left|\begin{array}{cc}m& -2\\ 3& m\end{array}\right|=m^2+6;D_x=\left|\begin{array}{cc}3& -2\\ 4& m\end{array}\right|=3m+8;D_y=\left|\begin{array}{cc}m& 3\\ 3& 4\end{array}\right|=4m-9$

Vì $m^2+6\ne 0,\forall m$ nên hệ phương trình luôn có nghiệm duy nhất $\left\{\begin{array}{c}x=\frac{D_x}{D}=\frac{3m+8}{m^2+6}\\ y=\frac{D_y}{D}=\frac{4m-9}{m^2+6}\end{array}\right.$

Theo giả thiết, ta có:

$\left\{\begin{array}{c}x>0\\ y<0\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{c}\frac{3m+8}{m^2+6}>0\\ \frac{4m-9}{m^2+6}<0\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{c}3m+8>0\\ 4m-9<0\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{c}m>-\frac{8}{3}\\ m<\frac{9}{4}\end{array}\right.$

$\iff -\frac{8}{3}<m<\frac{9}{4}$

Vì m ∈ Z nên m ∈ {−2; −1; 0; 1; 2}

Đáp án cần chọn là: B

Ta có: $D=\left|\begin{array}{cc}m& -1\\ 3& m\end{array}\right|=m^2+3;$$D_x=\left|\begin{array}{cc}2& -1\\ 5& m\end{array}\right|=2m+5;$$D_y=\left|\begin{array}{cc}m& 2\\ 3& 5\end{array}\right|=5m-6$

Vì $m^2+3\ne 0,\forall m$ nên hệ phương trình luôn có nghiệm duy nhất $\left\{\begin{array}{c}x=\frac{D_x}{D}=\frac{2m+5}{m^2+3}\\ y=\frac{D_y}{D}=\frac{5m-6}{m^2+3}\end{array}\right.$

Theo giả thiết, ta có:

$x+y<1\iff \frac{2m+5}{m^2+3}+\frac{5m-6}{m^2+3}<1\iff \frac{7m-1}{m^2+3}<1$

$\iff 7m-1<m^2+3\iff m^2-7m+4>0\iff$$\left[\begin{array}{c}m>\frac{7+\sqrt{33}}{2}\\ m<\frac{7-\sqrt{33}}{2}\end{array}\right.$

Đáp án cần chọn là: A