Cho hệ phương trình: $\left\{\begin{array}{c}mx-2y=3\\ 3x+my=4\end{array}\right.$. Số giá trị nguyên của m để hệ phương trình có nghiệm duy nhất thỏa mãn $x>0$và $y<0$ là:

Ta có: $D=\left|\begin{array}{cc}2m+1& 1\\ m^2& -1\end{array}\right|=-2m-1-m^2=-{\left(m+1\right)}^2$

$D_x=\left|\begin{array}{cc}2m-2& 1\\ m^2-3m& -1\end{array}\right|$

$=-2m+2-m^2+3m=-m^2+m+2=\left(m+1\right)\left(2-m\right)$

$D_y=\left|\begin{array}{cc}2m+1& 2m-2\\ m^2& m^2-3m\end{array}\right|=\left(2m+1\right)\left(m^2-3m\right)-m^2\left(2m-2\right)$

$=-3m^2-3m=-3m\left(m+1\right)$

Nếu $m\ne -1$ thì hệ phương trình có nghiệm duy nhất

$\left\{\begin{array}{c}x=\frac{D_x}{D}=\frac{m-2}{m+1}=1-\frac{3}{m+1}\\ y=\frac{D_y}{D}=\frac{3m}{m+1}=3-\frac{3}{m+1}\end{array}\right.$

Để $x,y\in Z$ suy ra $\frac{3}{m+1}\in Z,m+1\in U,\left(3\right)=\left\{\pm 1;\pm 3\right\}$

Vậy có 4 giá trị của m thoả mãn đề bài.

Đáp án cần chọn là: D

Ta có: $D=\left|\begin{array}{cc}m& -1\\ 3& m\end{array}\right|=m^2+3;$$D_x=\left|\begin{array}{cc}2& -1\\ 5& m\end{array}\right|=2m+5;$$D_y=\left|\begin{array}{cc}m& 2\\ 3& 5\end{array}\right|=5m-6$

Vì $m^2+3\ne 0,\forall m$ nên hệ phương trình luôn có nghiệm duy nhất $\left\{\begin{array}{c}x=\frac{D_x}{D}=\frac{2m+5}{m^2+3}\\ y=\frac{D_y}{D}=\frac{5m-6}{m^2+3}\end{array}\right.$

Theo giả thiết, ta có:

$x+y<1\iff \frac{2m+5}{m^2+3}+\frac{5m-6}{m^2+3}<1\iff \frac{7m-1}{m^2+3}<1$

$\iff 7m-1<m^2+3\iff m^2-7m+4>0\iff$$\left[\begin{array}{c}m>\frac{7+\sqrt{33}}{2}\\ m<\frac{7-\sqrt{33}}{2}\end{array}\right.$

Đáp án cần chọn là: A