Hệ phương trình $\left\{\begin{array}{c}{x}^2+y=6\\ y^2+x=6\end{array}\right.$có bao nhiêu nghiệm?

Phương trình $\left(1\right)\iff \left(x+y\right)\left(2x-y\right)=0\iff \left[\begin{array}{c}x=-y\\ 2x=y\end{array}\right.$

Trường hợp 1: $x=-y$ thay vào (2) ta được $x^2-4x+3=0\iff \left[\begin{array}{c}x=1\\ x=3\end{array}\right.$

Suy ra hệ phương trình có hai nghiệm là (1; −1), (3; −3).

Trường hợp 2: $2x=y$ thay vào (2) ta được $-5x^2+17x+3=0$ phương trình này không có nghiệm nguyên.

Vậy các cặp nghiệm (x; y) sao cho x, y đều là các số nguyên là (1; −1) và (3; −3).

Đáp án cần chọn là: C

Khi $x,y\ge 0$ thì hệ trở thành $\left\{\begin{array}{c}x+2y=3\\ 7x+5y=2\end{array}\right.\iff x=-\frac{11}{9};y=\frac{19}{9}\left(loại\right)$

Khi $x,y<0$ thì hệ trở thành $\left\{\begin{array}{c}-x-2y=3\\ 7x+5y=2\end{array}\right.\iff x=\frac{19}{9};y=\frac{-23}{9}\left(loại\right)$

Khi $x\ge 0,y<0$ thì hệ trở thành $\left\{\begin{array}{c}x-2y=3\\ 7x+5y=2\end{array}\right.\iff x=1;y=-1\left(nhận\right)$

Khi $x<0,y\ge 0$ thì hệ trở thành $\left\{\begin{array}{c}-x+2y=3\\ 7x+5y=2\end{array}\right.\iff x=-\frac{11}{9};y=\frac{23}{9}\left(nhận\right)$

Đáp án cần chọn là: C