Cho hình lăng trụ tam giác đều $ABC.A\text{'}B\text{'}C\text{'}$ có $AB=2\sqrt{3}$ và $AA\text{'}=2$. Gọi M và N lần lượt là trung điểm của $A\text{'}C\text{'}$ và $A\text{'}B\text{'}$. Tính cosin của góc tạo bởi hai mặt phẳng $\left(AB\text{'}C\text{'}\right)$ và (BCMN).

Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh bằng $2\sqrt{2}$, cạnh SC vuông góc với đáy và SC=1. Gọi D và E lần lượt là trung điểm của AB và BC. Tính góc giữa hai đường thẳng CD và SE.

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu $\left(S\right):x^2+y^2+z^2-2x-2y-2z=0$ và điểm?(2;2;0).. Viết phương trình mặt phẳng (OAB), biết rằng điểm B thuộc mặt cầu (S), có hoành độ dương và tam giác OAB đều.

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A(1;2;3) và mặt phẳng $\left(\alpha \right):x-4y+z=0$. Viết phương trình mặt phẳng $\left(\beta \right)$ đi qua A và song song với mặt phẳng $\left(\alpha \right)$.

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm $A\left(-1;3;4\right)$ và $B\left(3;1;0\right)$. Gọi M là điểm trên mặt phẳng (Oxz) sao cho t ổng khoảng cách từ M đến A và B là ngắn nhất. Tìm hoành độ $x_0$ của điểm M.

Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông ABCD cạnh a, cạnh SA vuông góc với mặt phẳng (ABCD) và SA=a. Tính theo a khoảng cách d giữa hai đường thẳng SC và BD.

Cho phương trình $z^4+2z^2-8=0$ có các nghiệm là $z_1;z_2;z_3;z_4$. Tính giá trị biểu thức $F=z_1^2+z_2^2+z_3^2+z_4^2$.

Gọi $h\left(t\right)$ (cm) là mức nước ở một bồn chứa sau khi bơm nước vào bồn được t giây. Biết rằng $h\text{'}\left(t\right)=\frac{1}{5}\sqrt[3]{t+8}$ và lúc đầu bồn không có nước. Tìm mức nước ở bồn sau khi bơm nước được 56 giây.