Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm $H\left(1;2;3\right)$. Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua H, cắt các trục $x\text{'}Ox,y\text{'}Oy,z\text{'}Oz$ lần lượt tại các điểm A, B, C $\left(A,B,C\ne O\right)$ sao cho H là trực tâm của tam giác ABC.

Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh bằng $2\sqrt{2}$, cạnh SC vuông góc với đáy và SC=1. Gọi D và E lần lượt là trung điểm của AB và BC. Tính góc giữa hai đường thẳng CD và SE.

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu $\left(S\right):x^2+y^2+z^2-2x-2y-2z=0$ và điểm?(2;2;0).. Viết phương trình mặt phẳng (OAB), biết rằng điểm B thuộc mặt cầu (S), có hoành độ dương và tam giác OAB đều.

Gọi $h\left(t\right)$ (cm) là mức nước ở một bồn chứa sau khi bơm nước vào bồn được t giây. Biết rằng $h\text{'}\left(t\right)=\frac{1}{5}\sqrt[3]{t+8}$ và lúc đầu bồn không có nước. Tìm mức nước ở bồn sau khi bơm nước được 56 giây.

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho tứ diện ABCD với $A\left(0;0;3\right),B\left(0;0;-1\right),C\left(1;0;-1\right)$ và $D\left(0;1;-1\right)$. Mệnh đề nào dưới đây sai?

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hình lăng trụ đứng $ABC.A\text{'}B\text{'}C\text{'}$ có $A\left(x_0;0;0\right)$, $B\left(-x_0;0;0\right)$, $C\left(0;1;0\right)$ và $B\text{'}\left(-x_0;0;y_0\right)$, trong đó $x_0;y_0$ là các số thực dương và thỏa mãn $x_0+y_0=4$. Khi khoảng cách giữa hai đường thẳng $AC\text{'}$ và $B\text{'}C$ lớn nhất thì mặt cầu ngoại tiếp hình lăng trụ có bán kính R bằng bao nhiêu?

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, cạnh bên SA vuông góc với đáy và SA=a. Tính góc giữa đường thẳng SB và mặt phẳng (SAC).

Cho phương trình ${\left(\frac{1}{5}\right)}^{\left|x^2-4x+3\right|}=m^4-m^2+1$. Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho phương trình có bốn nghiệm phân biệt. Mệnh đề nào dưới đây đúng?