Cho tam giác ABC có góc A tù, tia phân giác của B và C cắt nhau tại O.

Lấy E là điểm trên cạnh AB. Từ E hạ $EP \perp BO$ (P thuộc BC), từ P hạ $PF \perp OC$ (F thuộc AC). Chứng minh:

a) OB và OC lần lượt là đường trung trực của PE và PF;

b) BE + CF = BC.

Cho tam giác MNP cân tại M. Trên cạnh MN lấy điểm K, trên cạnh MP lấy điểm D sao cho MK = DP. Đường trung trực của MP cắt đường trung trực của DK tại O. Chứng minh:

a) $\widehat{MKO}=\widehat{PDO}$;

b) O thuộc đường trung trực của MN;

c) MO là tia phân giác của $\widehat{NMP}$.

Cho tam giác ABC vuông tại A, $\hat{C}= 30°$. Kẻ đường trung trực của đoạn thẳng AC, cắt AC tại H và cắt BC tại D. Nối A và D.

a) Chứng minh tam giác ABD đều.

b) Kẻ phân giác góc $\hat{B}$ cắt AD tại K, cắt DH kéo dài tại I. Chứng  minh I là tâm đường trong đi qua ba đỉnh, của tam giác ADC.

c) Gọi E, F là hình chiếu vuông góc của I xuống các đường thẳng BC, BA. Chứng minh IE = IF = IK.  

d) Tính số đo góc $\widehat{DAI}$

Cho tam giác ABC cân tại A. Các đường trung trực của AB và AC cắt nhau tại O. Lấy điểm D thuộc cạnh AB, điểm E thuộc cạnh AC sao cho BD = CE. Chứng minh:

a) $∆DOB = ∆EOC;$

b) AO là đường trung trực của DE;

c) DE // BC.

Tam giác ABC nhọn, O là giao điểm hai đường trung trực của AB và AC. Trên tia đối của tia OB lấy điểm D sao cho OB = OD.

a) Chứng minh O thuộc đường trung trực của AD và CD.

b) Chứng minh các tam giác ABD, CBD vuông.

c) Biết $\widehat{ABC}= 70°$. Tính số đo góc $\widehat{ADC}$.

Cho tam giác ABC có góc $\widehat{A}= 110°$. Đường trung trực của các cạnh AB và AC cắt nhau tại I. Chứng minh:

a) tam giác BIC cân;

b) $\widehat{BIC}= 2(180° -\widehat{BAC} )$ và tính số đo góc $\widehat{BIC}$.

Cho tam giác ABC. M là trung điểm của BC. Các đường trung trực của AB và AC cắt nhau tại O. Tính số đo góc $\widehat{OMB}$

Cho tam giác ABC có O là giao điểm các đường trung trực của tam giác. Biết BO là tia phân giác của góc $\widehat{ABC}$. Chứng minh:

a) $∆BOA = ∆BOC;$

b) BO là trung trực của AC.