Bài tập Toán 7: Tính chất ba đường trung trực

Câu 1:

Cho A, B, C là ba điểm phân biệt không thẳng hàng. Hãy xác định đường tròn đi qua ba điểm A, B, C.

Câu 2:

Chứng minh trong tam giác vuông, tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác là trung điểm của cạnh huyền.

Câu 3:

Cho tam giác ABC. M là trung điểm của BC. Các đường trung trực của AB và AC cắt nhau tại O. Tính số đo góc $\widehat{OMB}$

Câu 4:

Cho tam giác ABC có góc $\widehat{A}= 110°$. Đường trung trực của các cạnh AB và AC cắt nhau tại I. Chứng minh:

a) tam giác BIC cân;

b) $\widehat{BIC}= 2(180° -\widehat{BAC} )$ và tính số đo góc $\widehat{BIC}$.

Câu 5:

Cho tam giác ABC (AB = AC). Đường trung trực của BC cắt trung tuyến BD tại G. Chứng minh G là trọng tâm của tam giác ABC.

Câu 6:

Cho tam giác MNP cân tại M. Trên cạnh MN lấy điểm K, trên cạnh MP lấy điểm D sao cho MK = DP. Đường trung trực của MP cắt đường trung trực của DK tại O. Chứng minh:

a) $\widehat{MKO}=\widehat{PDO}$;

b) O thuộc đường trung trực của MN;

c) MO là tia phân giác của $\widehat{NMP}$.

Câu 7:

Cho tam giác ABC cân tại A Gọi O là điểm cách đều ba đỉnh A, B, C. Nối OA, OB, OC.

a) Chứng minh $\widehat{OBA}=\widehat{OAC}$.

b) Trên cạnh AB lấy điểm M, trên cạnh AC lấy điểm N sao cho BM = AN. Chứng minh O thuộc đường trung trực của MN.

Câu 8:

Cho tam giác ABC cân ở A. Gọi M là trung điểm của BC. Các đường trung trực của AB và AC cắt nhau ở E. Chứng minh ba điểm A, E, M thẳng hàng.

Câu 9:

Cho tam giác ABC cân tại A. Trên nửa mặt phẳng bờ BC không chứa điểm A, dựng tam giác cân BCD. Chứng minh các đưòmg trung trực của AB và AC đồng quy với đường thẳng AD.

Câu 10:

Tam giác ABC có góc A là góc tù. Các đường trung trực của các cạnh AB và AC cắt nhau ở O. Các điểm B và C có thuộc đường tròn tâm O bán kính OA hay không? Vì sao?

Câu 11:

Tam giác ABC nhọn, O là giao điểm hai đường trung trực của AB và AC. Trên tia đối của tia OB lấy điểm D sao cho OB = OD.

a) Chứng minh O thuộc đường trung trực của AD và CD.

b) Chứng minh các tam giác ABD, CBD vuông.

c) Biết $\widehat{ABC}= 70°$. Tính số đo góc $\widehat{ADC}$.

Câu 12:

Cho tam giác ABC có O là giao điểm các đường trung trực của tam giác. Biết BO là tia phân giác của góc $\widehat{ABC}$. Chứng minh:

a) $∆BOA = ∆BOC;$

b) BO là trung trực của AC.

Câu 13:

Câu 14:

Cho tam giác ABC vuông tại A có $\widehat{C}= 60°$. Lấy điểm D đối xứng với điểm C qua AB.

a) Có nhận xét gì về tam giác DBC ? Vì sao?

b) Chứng minh $AC =\frac{1}{2} BC$.

c) Trên tia BA lấy điểm O sao cho $BO=\frac{2}{3}BA$. Chứng minh O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác DBC.

Câu 15:

Cho tam giác ABC có $\hat{A} > 90°$. Trên cạnh BC lấy các điểm D và E sao cho BD = BA, CE = CA. Gọi I là giao điểm các tia phân giác trong của tam giác ABC. Chứng minh:

a) Tam giác BCD là tam giác gì?

b) Tính AC? 

Câu 16:

Trên ba cạnh AB, BC và CA của tam giác đều ABC lấy các điểm theo thứ tự M, N, P sao cho AM = BN = CP. Gọi O là giao điểm ba đường trung trực của tam giác ABC.

a) Tính số đo góc $\widehat{MAO}$.

b) Chứng minh $∆MAO = ∆OPC.$

c) Chứng minh O là giao điểm ba đường trung trực của tam giác MNP.

Câu 17:

Cho tam giác ABC cân (AB = AC). Các đường trung trực của AB và AC cắt nhau tại O và cắt BC tại M và N (M và N nằm ngoài đoạn thẳng BC). Chứng minh:

a) $∆AMB$ và $∆ANC$ cân;

b) $∆AMC = ∆NB;$

c) AO là đường trung trực của MN.

Câu 18:

Cho tam giác ABC vuông tại A, $\hat{C}= 30°$. Kẻ đường trung trực của đoạn thẳng AC, cắt AC tại H và cắt BC tại D. Nối A và D.

a) Chứng minh tam giác ABD đều.

b) Kẻ phân giác góc $\hat{B}$ cắt AD tại K, cắt DH kéo dài tại I. Chứng  minh I là tâm đường trong đi qua ba đỉnh, của tam giác ADC.

c) Gọi E, F là hình chiếu vuông góc của I xuống các đường thẳng BC, BA. Chứng minh IE = IF = IK.  

d) Tính số đo góc $\widehat{DAI}$

Câu 19:

Cho tam giác ABC có góc A tù, tia phân giác của B và C cắt nhau tại O.

Lấy E là điểm trên cạnh AB. Từ E hạ $EP \perp BO$ (P thuộc BC), từ P hạ $PF \perp OC$ (F thuộc AC). Chứng minh:

a) OB và OC lần lượt là đường trung trực của PE và PF;

b) BE + CF = BC.

Câu 20:

Cho tam giác ABC cân ở A, đường phân giác AK. Các đường trung trực của AB và AC cắt nhau tại O.

a) Chứng minh ba điểm A, K, O thẳng hàng.

b) Kéo dài CO cắt AB ở D, kéo dài BO cắt AC ở E. Chúng minh AK và các đường trung trực của AD và AE đồng quy.

Câu 21:

Cho tam giác ABC vuông tại A. Kẻ AH vuông góc với BC, H thuộc BC. Tia phân giác của góc $\widehat{HAB}$ cắt BC tại D, tia phân giác của góc $\widehat{HAC}$ cắt BC tại E. Chứng minh điểm cách đều ba cạnh của tam giác ABC chính là điểm cách đều ba đỉnh của tam giác ADE.

Câu 22:

Cho tam giác ABC có ba góc nhọn. Các điểm F, K, I là trung điểm, các cạnh BC, BA, AC. Gọi H là giao điểm các đường trung trực tam giác ABC. Trên tia đối của tia FH lấy điểm A' sao cho A'F = FH. Trên tia đối của tia KH lấy điểm C' sao cho KH = KC' . Trên tia đối  của tia IH lấy điểm B' sao cho IH = IB'

a) Chứng minh hình sáu cạnh A'BC'AB'C có sáu cạnh bằng nhau và trong sáu cạnh đó có từng đôi một song song.

b) Cho $\widehat{ABC}=80°,\widehat{BAC}=60°$. Tính các góc của hình sáu cạnh A'BC'AB'C.