Cho tam giác ABC. Các đường trung trực của AB và AC cắt BC tại M và N.

a) Biết $\hat{B}= 30°, \hat{C}= 45°$. Tính số đo góc $\widehat{BAC}$ và $\widehat{MAN}$.

b) Chứng minh $\widehat{MAN}= 2\widehat{BAC}- 180°.$

Cho tam giác ABC cân tại A $( \hat{A}< 90°)$. Đường trung trực của cạnh AC cắt tia CB tại điểm D. Trên tia đối của tia AD lấy điểm E sao cho AE = BD. Chứng minh.:

a) Chứng minh ADC cân;

b) Chứng minh $\widehat{DAC}=\widehat{ABC}$;

c) Chứng minh AD = CE;

d) Lấy F là trung điểm của DE. Chứng minh CF là đường trung trực của DE.

Cho tam giác ABC, đường phân giác AD. Trên tia AC lấy điểm E sao cho AE = AB. Chứng minh:

a) DB = DE;

b) AD là đường trung trực của BE.

Cho góc xOy khác góc bẹt Oz là tia phân giác của góc xOy. Gọi M là một điểm bất kì thuộc tia Oz. Qua M vẽ đường thẳng a vuông góc với Ox tại A, cắt Oy tại C và vẽ đường thẳng b vuông góc với Oy tại B, cắt Ox tại D. Chứng minh:

a) Điểm O thuộc đường trung trực của AB;

b) OM là đường trung trực của AB; Điểm M thuộc đường trung trực của CD.

Cho tam giác ABC nhọn, đường cao AH. Lấy các điểm P và Q lần lượt đối xứng với H qua AB; AC.

a) Chứng minh AP = AQ.

b) Cho $\widehat{BAC}= 60°$. Tính số đo góc $\widehat{PAQ}$

c) Gọi I , K lần lượt là giao điểm của PQ với AB, AC. Chứng minh $\widehat{API}=\widehat{AHI}$ và $\widehat{AHK}=\widehat{AQK}$.

d) Chứng minh HA là tia phân giác của $\widehat{IHK}$.

Cho tam giác ABC có AB < AC. Trên cạnh AC lấy điểm D sao cho CD = AB. Hai đường trung trực của BD và AC cắt nhau tại E. Chứng minh:

a) $∆BE = ∆CDE;$

b) Điểm E cách đều hai cạnh AB và AC.

Cho tam giác DEF có DE = DF. Lấy điểm K nằm trong tam giác sao cho KE = KF. Kẻ KP vuông góc với DE (P thuộc DE), KQ vuông góc với DF (Q thuộc DF). Chứng minh:

a) K thuộc đường trung trực của EF và PQ;

b) DK là đường trung trực của EF và PQ. Từ đó suy ra PQ//EF.