Bài tập Toán 7: Tính chất đường trung trực

Câu 1:

Cho hai điểm A, B nằm trên đường trung trực của đoạn thẳng MN. Chứng minh $∆MAB =∆NAB$

Câu 2:

Tam giác ABC vuông tại A có $\hat{C} = 30°$. Trên tia đối của tia AC lấy điểm D sao cho AD = AC. Tính số đo góc $\widehat{BDA}$

Câu 3:

Tam giác ABC có điểm A thuộc đường trung trực của BC.

Biết $\hat{B} = 40°$. Tính số đo của các góc trong tam giác ABC

Câu 4:

Tam giác DEF có DE < DF. Gọi d là đường trung trực của EF. M là giao điểm của d với DF.

a) Chứng minh DM + ME =  DF.

b) Lấy bất kì điểm P nằm trên đường thẳng d (P khác M). Chứng minh DP + PE > DF.

c) So sánh chu vi của hai tam giác DEM và DEP.

Câu 5:

Cho hai điểm A, B nằm cùng phía với đường thẳng d. Xác định vị trí điểm M trên đường thẳng d sao cho M cách đều hai điểm A và B.

Câu 6:

Tam giác ABC có $\widehat{B}-\widehat{C}= 30°.$ Đường trung trực của BC cắt AC ở K.

a) Chứng minh $\widehat{KBC}=\widehat{KCB}$.

b) Tính số đo góc $\widehat{ABK}$.

c) Biết AB = 3 cm, AC = 5 cm. Tính chu vi tam giác ABK.

Câu 7:

Cho tam giác ABC. Các đường trung trực của AB và AC cắt BC tại M và N.

a) Biết $\hat{B}= 30°, \hat{C}= 45°$. Tính số đo góc $\widehat{BAC}$ và $\widehat{MAN}$.

b) Chứng minh $\widehat{MAN}= 2\widehat{BAC}- 180°.$

Câu 8:

Cho tam giác ABC cân có $\hat{A} > 90°$. Các đường trung trực của AB và AC cắt cạnh BC theo thứ tự ở D và E và hai trung trực cắt nhau ở F. Biết $\hat{A}= 110°$. Tính số đo góc $\widehat{DAE}$, $\widehat{DFE}$. 

Câu 9:

Cho góc vuông xOy. Trên các tia Ox, Oy lấy hai điểm A và B (không trùng với O). Đường trưng trực của các đoạn thẳng OA và OB cắt nhau ở M. Chứng minh:

a) A, M, B thẳng hàng.

b) M là trung điểm của AB.

Câu 10:

Cho tam giác ABC vuông tại A. Đường trung trực của đoạn thẳng AC cắt AC AC tại H, cắt BC tại D. Nối A và D.

a) So sánh số đo góc $\widehat{DAB}$ và $\widehat{DBA}$. 

b) Chứng minh D là trung điểm của BC.

Câu 11:

Cho đoạn thẳng AB = 5 cm. Vẽ đường tròn tâm A bán kính 4 cm và đường tròn tâm B bán kính 3 cm. Hai đường tròn này cắt nhau tại D, E. Chứng minh:

a) Điểm A thuộc đường trung trực của DE;

b) AB là đường trung trực của DE;

c) $\widehat{ADB}= 90°.$

Câu 12:

Cho tam giác DEF có DE = DF. Lấy điểm K nằm trong tam giác sao cho KE = KF. Kẻ KP vuông góc với DE (P thuộc DE), KQ vuông góc với DF (Q thuộc DF). Chứng minh:

a) K thuộc đường trung trực của EF và PQ;

b) DK là đường trung trực của EF và PQ. Từ đó suy ra PQ//EF.

Câu 13:

Cho góc xOy khác góc bẹt Oz là tia phân giác của góc xOy. Gọi M là một điểm bất kì thuộc tia Oz. Qua M vẽ đường thẳng a vuông góc với Ox tại A, cắt Oy tại C và vẽ đường thẳng b vuông góc với Oy tại B, cắt Ox tại D. Chứng minh:

a) Điểm O thuộc đường trung trực của AB;

b) OM là đường trung trực của AB; Điểm M thuộc đường trung trực của CD.

Câu 14:

Hai điểm A, B cùng nằm trên nửa mặt phẳng có bờ là đường thẳng d. Tìm vị trí điểm C trên đường thẳng d sao cho giá trị của tổng CA + CB là nhỏ nhất.

Câu 15:

Cho góc $\widehat{xOy}= 35°$. Trên tia Ox lấy điểm A, trên tia Oy lấy điểm B. Gọi C là điểm đối xứng với A qua Oy.

a) Chứng minh $∆OAB = ∆OCB.$

b) Tính số đo góc $\widehat{AOC}$

Câu 16:

Cho tam giác ABC vuông tại A có góc $\hat{C}= 60°$. Lấy điểm D đối xứng với điểm C qua AB.

a) Chứng minh tam giác BCD là tam giác đều.

b) Biết $BC = 2\sqrt{3}$. Tính độ dài các cạnh AB, AC.

Câu 17:

Cho tam giác ABC, đường phân giác AD. Trên tia AC lấy điểm E sao cho AE = AB. Chứng minh:

a) DB = DE;

b) AD là đường trung trực của BE.

Câu 18:

Câu 19:

Cho tam giác ABC có AB < AC. Trên cạnh AC lấy điểm D sao cho CD = AB. Hai đường trung trực của BD và AC cắt nhau tại E. Chứng minh:

a) $∆BE = ∆CDE;$

b) Điểm E cách đều hai cạnh AB và AC.

Câu 20:

Cho tam giác ABC cân tại A $( \hat{A}< 90°)$. Đường trung trực của cạnh AC cắt tia CB tại điểm D. Trên tia đối của tia AD lấy điểm E sao cho AE = BD. Chứng minh.:

a) Chứng minh ADC cân;

b) Chứng minh $\widehat{DAC}=\widehat{ABC}$;

c) Chứng minh AD = CE;

d) Lấy F là trung điểm của DE. Chứng minh CF là đường trung trực của DE.

Câu 21:

Cho tam giác ABC nhọn, đường cao AH. Lấy các điểm P và Q lần lượt đối xứng với H qua AB; AC.

a) Chứng minh AP = AQ.

b) Cho $\widehat{BAC}= 60°$. Tính số đo góc $\widehat{PAQ}$

c) Gọi I , K lần lượt là giao điểm của PQ với AB, AC. Chứng minh $\widehat{API}=\widehat{AHI}$ và $\widehat{AHK}=\widehat{AQK}$.

d) Chứng minh HA là tia phân giác của $\widehat{IHK}$.

Câu 22:

Cho $\widehat{xOy} = 90°$. Trên tia Ox lấy điểm A, trên tia Oy lấy điểm B. Kẻ đường trung trực HM của đoạn thẳng OA (H thuộc OA, M thuộc AB). Chứng minh M thuộc đường trung trực của OB.

Câu 23:

Cho tam giác ABC cố định, đường phân giác AI (I thuộc BC). Trên đoạn thẳng IC lấy điểm H. Từ H kẻ đường thẳng song song với AI, cắt AB kéo dài tại E và cắt AC tại F. Chứng minh:

a) Đường trung trực của EF luôn đi qua đỉnh A của tam giác ABC;

b) Khi H di động trên đoạn thẳng ỈC thì đường trung trực của đoạn thẳng EF luôn cố định.

Câu 24:

Cho tam giác ABC có AB < AC. Xác định điểm D trên AC sao cho DA + DB = AC.

Câu 25:

Cho góc xAy, B và C là hai điểm lần lượt thuộc hai tia Ax và Ay. Tìm một điểm M cách đều hai cạnh của góc và cách đều hai điểm B và C.

Câu 26:

Cho bốn điểm A, B, C, D tạo thành hình có AB / / CD và BC//AD như hình vẽ. Giao điểm của AC và BD là O. Từ O vẽ vuông góc với AC cắt cạnh BC, AD lần lượt tại M, N. Chứng minh AC là trung trực của MN và AM = MC = CN = NA

Câu 27:

Cho tam giác ABC có AB = 10 cm, AC = 13 cm, Trên tia đối tia AC lấy điểm E sao cho AE = AB. Qua A kẻ đường thẳng d vuông góc với BE. M là điểm bất kì trên đường thẳng d.

a) Chứng minh $MB + MC \ge EC$.

b) Tìm vị trí điểm M trên đường thẳng d sao cho MB + MC đạt giá trị nhỏ nhất và cho biết giá trị đó là bao nhiêu.

Câu 28:

Cho tam giác ABC. Tìm điểm E thuộc đường phân giác của góc ngoài tại đỉnh A sao cho tam giác EBC có chu vì nhỏ nhất.

Câu 29:

Cho điểm A nằm trong góc nhọn xOy.

a) Tìm hai điểm M, N thuộc Ox và Oy sao cho AM + AN là nhỏ nhất.

b) Tìm hai điểm B, C thuộc Ox và Oy sao cho tam giác ABC có chu vi nhỏ nhất