Cho hai đường tròn (O) và (O') cắt nhau tại A, B. Kẻ đường kính AC của (O) cắt đường tròn (O’) tại F. Kẻ đường kính AE của (O') cắt đưòng tròn (O) tại G. Chứng minh:

a, Tứ giác GFEC nội tiếp

b, GC, FE và AB đồng quy

Cho đường tròn (O; R) và dây CD cố định. Điểm M thuộc tia đối của tia CD. Qua M kẻ hai tiếp tuyên MA, MB tới đường tròn (A thuộc cung lớn CD). Gọi I là trung điểm CD. Nối BI cắt đường tròn tại E (E khác B). Nối OM cắt AB tại H

a, Chứng minh AE song song CD

b, Tìm vị trí của M để MA ^ MB

c, Chứng minh HB là phân giác của CHD

Cho hình vuông ABCD. E di động trên đoạn CD (E  khác C, D). Tia AE cắt đường thẳng BC tại F, tia Ax vuông góc vói AE tại A cắt đường thẳng DC tại K. Chứng minh:

a, $\widehat{CAF}=\widehat{CKF}$

b, Tam giác KAF vuông cân

c, Đường thẳng BD đi qua trung điểm I của KF

d, Tứ giác IMCF nội tiếp với M là giao điểm của BD và AE

Cho đường tròn (O) đường kính AB. Trên đoạn thẳng OB lấy điểm H bất kì (H không trùng O, B). Trên đường thẳng vuông góc với OB tại H, lấy một điểm M ở ngoài đường tròn; MA và MB thứ tự cắt đường tròn (O) tại C và D. Gọi I là giao điểm của AD và BC. Chứng minh MCID và MCHB là tứ giác nội tiếp

Cho đường tròn tâm O bán kính R, hai điểm c và D thuộc đường tròn, B là điểm chính giữa của cung nhỏ CD. Kẻ đường kính BA; trên tia đối của tia AB lấy điểm S. Nối S với cắt (O) tại M, MD cắt AB tại K, MB cắt AC tại H. Chứng minh:

a, $\widehat{BMD}=\widehat{BAC}$. Từ đó suy ra tứ giác AMHK nội tiếp

b, HK song song CD

Cho tam giác ABC vuông tại A và điểm M thuộc cạnh AC. Vẽ đường tròn tâm O đường kính MC cắt BC tại E. Nối BM cắt đường tròn (O) tại N, AN cắt đường tròn (O) tại D. Lấy I đối xứng với M qua A, K đối xứng với M qua E

a, Chứng minh BANC là tứ giác nội tiếp

b, Chứng minh CA là phân giác của $\widehat{BCD}$

c, Chứng minh ABED là hình thang

d, Tìm vị trí M để đường tròn ngoại tiếp tam giác BIK có bán kính nhỏ nhất 

Cho điểm C nằm trên nửa đường tròn (O) vói đường kính AB sao cho cung $\stackrel{⏜}{AC}$ lớn hơn cung $\stackrel{⏜}{BC}$ (C ≠ B). Đường thẳng vuông góc vói AB tại O cắt dây AC tại D. Chứng minh tứ giác BCDO nội tiếp

Cho tam giác ABC có ba góc nhọn nội tiếp (O), M là điểm thuộc cung nhỏ AC. Vẽ MH vuông góc với BC tại H, MI vuông góc AC tại I

a, Chứng minh $\widehat{IHM}=\widehat{ICM}$

b, Đường thẳng HI cắt đường thẳng AB tại K. Chứng minh MK vuông góc vói BK

c, Chứng minh tam giác MIH đồng dạng vói tam giác MAB

d, Gọi E là trung điểm của IH và F là trung điểm AB. Chứng minh tứ giác KMEF nội tiếp từ đó suy ra ME vuông góc vói EF