Bác Ba có 60m lưới thép. Bác dự định rào quanh một miếng đất hình chữ nhật để nuôi gà. Em hãy giúp bác Ba rào mảnh đất hình chữ nhật với diện tích lớn nhất.

a) Tính EM.

Xét tam giác ABC ta có:

M là trung điểm của BC

E là trung điểm của AC

=> EM là đường trung bình của tam giác ABC

$\Rightarrow \mathrm{EM}=\frac{1}{2}\mathrm{AB}=6\mathrm{cm}$

b) Vẽ tia Bx song song với AC sao cho Bx cắt EM tại D. Chứng minh rằng tứ giác ABDE là hình vuông.

Vì EM là đường trung bình của $\mathrm{\Delta ABC}$ nên EM // AB.

=> ED // AB

Ta lại có: $\left.\begin{array}{l}\mathrm{D}\in \mathrm{Bx}\\ \mathrm{Bx}\text{\hspace{0.17em}//\hspace{0.17em}}\mathrm{AE}\end{array}\right\}\Rightarrow \mathrm{BD}\text{\hspace{0.17em}//\hspace{0.17em}}\mathrm{AE}$

Xét tứ giác ABDE ta có:

ED // AB

BD // AE

=> Tứ giác ABDE là hình bình hành (dấu hiệu nhận biết)

$$\begin{gathered} \left.\begin{array}{l}\left.\begin{array}{l}\mathrm{AB}=4\mathrm{cm}\\ \mathrm{AC}=8\mathrm{cm}\end{array}\right\}\Rightarrow \mathrm{AB}=\frac{1}{2}\mathrm{AC}\\ \mathrm{AE}=\mathrm{EC}=\frac{1}{2}\mathrm{AC}\end{array}\right\} \\ \Rightarrow \mathrm{AE}=\mathrm{AB} \end{gathered}$$

=> Hình bình hành ABDE là hình thoi (dấu hiệu nhận biết)

Mà $\widehat{\mathrm{BAE}}={90}^{\circ }$ nên hình thoi ABDE là hình vuông (dấu hiệu nhận biết)

c) Gọi I là giao điểm của BE và AD. Gọi K là giao điểm của BE với AM. Chứng minh rằng: Tứ giác BDCE là hình bình hành và DC = 6IK.

Vì ABDE là hình vuông nên:

+ BD // AE => BD // EC

+ $\left.\begin{array}{l}\mathrm{BD}=\mathrm{AE}\\ \mathrm{AE}=\mathrm{EC}\end{array}\right\}\Rightarrow \mathrm{BD}=\mathrm{EC}$

Xét tứ giác BDCE ta có:

BD // EC

BD = EC

Suy ra, tứ giác BDEC là hình bình hành (dấu hiệu nhận biết).

=> BE = CD (tính chất)

Theo đề bài, ta có: ABDE là hình vuông có I là giao điểm hai đường chéo

$\Rightarrow \mathrm{IA}=\mathrm{IB}=\mathrm{ID}=\mathrm{IE}=\frac{1}{2}\mathrm{BE}$

Xét $\mathrm{\Delta ADE}$ có:

EI là đường trung tuyến ứng với AD

AM là đường trung tuyến ứng với DE

Mà K là giao điểm của AM và EI. Suy ra. K là trọng tâm $\mathrm{\Delta ADE}$.

 $\text{⇒IK=}\frac{1}{3}\mathrm{IE}=\frac{1}{6}\mathrm{BE}=\frac{1}{6}\mathrm{DC}$

=> DC = 6IK (đpcm)