Xét sự biến thiên của các hàm số

❶ $f\left(x\right)=\sqrt{x^2+3}$ trong $\left(0;+\infty \right)$

❷ $f\left(x\right)=x^2+4x+5$ trong $\left(-\infty ;-2\right)$

Hàm số có nghĩa khi và chỉ khi

$\left\{\begin{array}{l}-x+2m-1\ge 0\\ 2x-m>0\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}x\le 2m-1\\ x>\frac{m}{2}\end{array}\right.$

Suy ra, hàm số xác định trên khi và chỉ khi

$\frac{m}{2}\le 1<3\le 2m-1\iff \left\{\begin{array}{l}m\le 2\\ m\ge 2\end{array}\right.\iff m=2$

❶ Với $x_1,x_2\in \left(0;+\infty \right)$ và $x_1\ne x_2$, ta có:

$A=\frac{f\left(x_1\right)-f\left(x_2\right)}{x_1-x_2}=\frac{2x_1^2-2x_2^2}{x_1-x_2}=2(x_1+x_2)>0,\forall x_1,x_2\in \left(0;+\infty \right)$

Vậy hàm số đồng biến trên $\left(0;+\infty \right)$

❷  Với $x_1,x_2\in \left(0;+\infty \right)$ và $x_1\ne x_2$, ta có:

$A=\frac{f\left(x_1\right)-f\left(x_2\right)}{x_1-x_2}=\frac{-6x_1^2+6x_2^2}{x_1-x_2}=-6(x_1+x_2)<0,\forall x_1,x_2\in \left(0;+\infty \right)$

Vậy hàm số đồng biến trên $\left(0;+\infty \right)$

❸ Với $x_1,x_2\in \left(-1;+\infty \right)$ và $x_1\ne x_2$, ta có:

$A=\frac{f\left(x_1\right)-f\left(x_2\right)}{x_1-x_2}=\frac{{x_1}^2+2x_1+2-x_2^2-2x_2-3}{x_1-x_2}=x_1+x_2+2>0,\forall x_1,x_2\in \left(-1;+\infty \right)$

Vậy hàm số đồng biến trên $\left(-1;+\infty \right)$

Với $x_1,x_2\in \left(-1;+\infty \right)$ và $x_1\ne x_2$, ta có:

$A=\frac{f\left(x_1\right)-f\left(x_2\right)}{x_1-x_2}=\frac{{x_1}^2+2x_1+2-x_2^2-2x_2-3}{x_1-x_2}=x_1+x_2+2>0,\forall x_1,x_2\in \left(-1;+\infty \right)$

Vậy hàm số nghịch biến trên $\left(-1;+\infty \right)$

❹ Với $x_1,x_2\in \left(2;+\infty \right)$ và $x_1\ne x_2$, ta có:

$A=\frac{f\left(x_1\right)-f\left(x_2\right)}{x_1-x_2}=\frac{-{x_1}^2+4x_1+1+x_2^2-4x_2-1}{x_1-x_2}=-x_1-x_2+4<0,\forall x_1,x_2\in \left(2;+\infty \right)$

Vậy hàm số đồng biến trên $\left(0;+\infty \right)$

Với $x_1,x_2\in \left(-\infty ;2\right)$ và $x_1\ne x_2$, ta có:

$A=\frac{f\left(x_1\right)-f\left(x_2\right)}{x_1-x_2}=\frac{-{x_1}^2+4x_1+1+x_2^2-4x_2-1}{x_1-x_2}=-x_1-x_2+4>0,\forall x_1,x_2\in \left(-\infty ;2\right)$

Vậy hàm số nghịch biến trên $\left(-\infty ;2\right)$