Câu hỏi:

12/07/2024 708

Xét sự biến thiên của các hàm số
❶ $f (x) = 3 x^{3}$
❷ $f (x) = x^{3} - 3 x^{2} + 6 x + 1$
❸ $f (x) = x^{3} + x + 1$
❹ $f (x) = x^{3} + 2 x^{2} + 3 x + 1$

Xem lời giải

Câu hỏi trong đề: Bài tập Toán 9 Bài 1 (có đáp án): Nhắc lại và bổ sung các khái niệm về hàm số hay nhất !!

Bắt đầu thi

Quảng cáo

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

❶ Hàm số xác định trên $ℝ$

Với mọi $x, y \in ℝ, x \neq y$ , lập tỉ lệ

$\begin{array}{l} A = \frac{f (x) - f (y)}{x - y} \\ = \frac{3 x^{3} - 3 y^{3}}{x - y} \\ = \frac{3 (x - y) (x^{2} + x y + y^{2})}{x - y} \\ = x^{2} + x y + y^{2} \end{array}$

Do $x^{2} + x y + y^{2} = {(x + \frac{y}{2})}^{2} + \frac{3}{4} y^{2} > 0 \forall x, y \in ℝ$ ( x, y không đồng thời bằng 0) nên $A > 0$

Vậy hàm số đồng biến trên $ℝ$

❷ Hàm số xác định trên $ℝ$

Với mọi $x, y \in ℝ, x \neq y$ , lập tỉ lệ

$\begin{array}{l} A = \frac{f (x) - f (y)}{x - y} \\ = \frac{(x^{3} - 3 x^{2} + 6 x + 1) - (y^{3} - 3 y^{2} + 6 y + 1)}{x - y} \\ = \frac{({(x - 1)}^{3} + 3 x + 2) ({(y - 1)}^{3} + 3 y + 2)}{x - y} \\ = \frac{(x - y) ({(x - 1)}^{2} + (x - 1) (y - 1) + {(y - 1)}^{2} + 3)}{x - y} \\ = {(x - 1)}^{2} + (x - 1) (y - 1) + {(y - 1)}^{2} + 3 \end{array}$

Do ${(x - 1)}^{2} + (x - 1) (y - 1) + {(y - 1)}^{2} + 3 = {[(x - 1) + \frac{1}{2} (y - 1)]}^{2} + \frac{3}{4} {(y - 1)}^{2} + 3 > 0 \forall x, y \in ℝ$ nên $A > 0$ .

Vậy hàm số đồng biến trên $ℝ$

❸ Hàm số xác định trên $ℝ$

Với mọi $x, y \in ℝ, x \neq y$ , lập tỉ lệ

$\begin{array}{l} A = \frac{f (x) - f (y)}{x - y} \\ = \frac{(x^{3} + x + 1) - (y^{3} + y + 1)}{x - y} \\ = \frac{(x - y) (x^{2} + x y + y^{2} + 1)}{x - y} \\ = x^{2} + x y + y^{2} + 1 > 0 \end{array}$

Vậy hàm số đồng biến trên $ℝ$

❹ Hàm số xác định trên $ℝ$

Với mọi $x, y \in ℝ, x \neq y$ , lập tỉ lệ

$\begin{array}{l} A = \frac{f (x) - f (y)}{x - y} \\ = \frac{(x^{3} + 2 x^{2} + 3 x + 1) - (y^{3} + 2 y^{2} + 3 y + 1)}{x - y} \\ = \frac{({(x + 1)}^{3} - {(y + 1)}^{3}) - (x^{2} - y^{2})}{x - y} \\ = \frac{(x - y) ({(x + 1)}^{2} + (x + 1) (y + 1) + {(y + 1)}^{2} + x + y)}{x - y} \\ = {(x + 1)}^{2} + (x + 1) (y + 1) + {(y + 1)}^{2} - (x + y) \\ = x^{2} + x y + y^{2} + 2 x + 2 y + 3 \\ = {(x + \frac{2}{3})}^{2} + {(y + \frac{2}{3})}^{2} + (x + \frac{2}{3}) (y + \frac{2}{3}) + \frac{5}{3} \\ = {[(x + \frac{2}{3}) + \frac{1}{2} (y + \frac{2}{3})]}^{2} + \frac{3}{4} {(y + \frac{2}{3})}^{2} + \frac{5}{3} \end{array}$

Biểu thức cuối luôn dương với mọi $x, y \in ℝ$ . Do đó hàm số đồng biến trên $ℝ$ .

Hot: 500+ Đề thi vào 10 file word các Sở Hà Nội, TP Hồ Chí Minh có đáp án 2025 (chỉ từ 100k). Tải ngay

Sách thầy cô Vietjack biên soạn:

Xem thêm »

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1

Tìm m để hàm số sau xác định trên (1; 3)
$y = \sqrt{- x + 2 m - 1} - \frac{1}{2 x - m}$

Xem đáp án

Lời giải

Hàm số có nghĩa khi và chỉ khi

$\{\begin{cases} - x + 2 m - 1 \geq 0 \\ 2 x - m > 0 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} x \leq 2 m - 1 \\ x > \frac{m}{2} \end{cases}$

Suy ra, hàm số xác định trên khi và chỉ khi

$\frac{m}{2} \leq 1 < 3 \leq 2 m - 1 \Leftrightarrow \{\begin{cases} m \leq 2 \\ m \geq 2 \end{cases} \Leftrightarrow m = 2$

Câu 2

Xét sự biến thiên của các hàm số.
❶ $y = f (x) = 2 x^{2}$ trong $(0; + \infty)$
❷ $y = f (x) = - 6 x^{2}$ trong $(0; + \infty)$
❸ $y = f (x) = x^{2} + 2 x + 3$
❹ $y = f (x) = - x^{2} + 4 x + 1$

Xem đáp án

Lời giải

❶ Với $x_{1}, x_{2} \in (0; + \infty)$ và $x_{1} \neq x_{2}$ , ta có:

$A = \frac{f (x_{1}) - f (x_{2})}{x_{1} - x_{2}} = \frac{2 x_{1}^{2} - 2 x_{2}^{2}}{x_{1} - x_{2}} = 2 (x_{1} + x_{2}) > 0, \forall x_{1}, x_{2} \in (0; + \infty)$

Vậy hàm số đồng biến trên $(0; + \infty)$

❷ Với $x_{1}, x_{2} \in (0; + \infty)$ và $x_{1} \neq x_{2}$ , ta có:

$A = \frac{f (x_{1}) - f (x_{2})}{x_{1} - x_{2}} = \frac{- 6 x_{1}^{2} + 6 x_{2}^{2}}{x_{1} - x_{2}} = - 6 (x_{1} + x_{2}) < 0, \forall x_{1}, x_{2} \in (0; + \infty)$

Vậy hàm số đồng biến trên $(0; + \infty)$

❸ Với $x_{1}, x_{2} \in (- 1; + \infty)$ và $x_{1} \neq x_{2}$ , ta có:

$A = \frac{f (x_{1}) - f (x_{2})}{x_{1} - x_{2}} = \frac{{x_{1}}^{2} + 2 x_{1} + 2 - x_{2}^{2} - 2 x_{2} - 3}{x_{1} - x_{2}} = x_{1} + x_{2} + 2 > 0, \forall x_{1}, x_{2} \in (- 1; + \infty)$

Vậy hàm số đồng biến trên $(- 1; + \infty)$

Với $x_{1}, x_{2} \in (- 1; + \infty)$ và $x_{1} \neq x_{2}$ , ta có:

$A = \frac{f (x_{1}) - f (x_{2})}{x_{1} - x_{2}} = \frac{{x_{1}}^{2} + 2 x_{1} + 2 - x_{2}^{2} - 2 x_{2} - 3}{x_{1} - x_{2}} = x_{1} + x_{2} + 2 > 0, \forall x_{1}, x_{2} \in (- 1; + \infty)$

Vậy hàm số nghịch biến trên $(- 1; + \infty)$

❹ Với $x_{1}, x_{2} \in (2; + \infty)$ và $x_{1} \neq x_{2}$ , ta có:

$A = \frac{f (x_{1}) - f (x_{2})}{x_{1} - x_{2}} = \frac{- {x_{1}}^{2} + 4 x_{1} + 1 + x_{2}^{2} - 4 x_{2} - 1}{x_{1} - x_{2}} = - x_{1} - x_{2} + 4 < 0, \forall x_{1}, x_{2} \in (2; + \infty)$

Vậy hàm số đồng biến trên $(0; + \infty)$

Với $x_{1}, x_{2} \in (- \infty; 2)$ và $x_{1} \neq x_{2}$ , ta có:

$A = \frac{f (x_{1}) - f (x_{2})}{x_{1} - x_{2}} = \frac{- {x_{1}}^{2} + 4 x_{1} + 1 + x_{2}^{2} - 4 x_{2} - 1}{x_{1} - x_{2}} = - x_{1} - x_{2} + 4 > 0, \forall x_{1}, x_{2} \in (- \infty; 2)$

Vậy hàm số nghịch biến trên $(- \infty; 2)$

Câu 3