Xét sự biến thiên của các hàm số

❶ $f\left(x\right)=3x^3$

❷ $f\left(x\right)=x^3-3x^2+6x+1$

❸ $f\left(x\right)=x^3+x+1$

❹ $f\left(x\right)=x^3+2x^2+3x+1$

❶ Hàm số xác định trên $ℝ$

Với mọi $x,y\in ℝ,x\ne y$, lập tỉ lệ

$\begin{array}{l}A=\frac{f\left(x\right)-f\left(y\right)}{x-y}\\ =\frac{3x^3-3y^3}{x-y}\\ =\frac{3(x-y)(x^2+xy+y^2)}{x-y}\\ =x^2+xy+y^2\end{array}$

Do $x^2+xy+y^2={\left(x+\frac{y}{2}\right)}^2+\frac{3}{4}{y}^2>0\forall x,y\in ℝ$ ( x, y không đồng thời bằng 0) nên $A>0$

Vậy hàm số đồng biến trên $ℝ$

❷ Hàm số xác định trên $ℝ$

Với mọi $x,y\in ℝ,x\ne y$, lập tỉ lệ

$\begin{array}{l}A=\frac{f\left(x\right)-f\left(y\right)}{x-y}\\ =\frac{\left(x^3-3x^2+6x+1\right)-\left(y^3-3y^2+6y+1\right)}{x-y}\\ =\frac{\left({\left(x-1\right)}^3+3x+2\right)\left({\left(y-1\right)}^3+3y+2\right)}{x-y}\\ =\frac{\left(x-y\right)\left({\left(x-1\right)}^2+(x-1)(y-1)+{(y-1)}^2+3\right)}{x-y}\\ ={\left(x-1\right)}^2+(x-1)(y-1)+{(y-1)}^2+3\end{array}$

Do ${\left(x-1\right)}^2+(x-1)(y-1)+{(y-1)}^2+3={\left[(x-1)+\frac{1}{2}(y-1)\right]}^2+\frac{3}{4}{(y-1)}^2+3>0\forall x,y\in ℝ$ nên $A>0$.

Vậy hàm số đồng biến trên $ℝ$

❸  Hàm số xác định trên $ℝ$

Với mọi $x,y\in ℝ,x\ne y$, lập tỉ lệ

$\begin{array}{l}A=\frac{f\left(x\right)-f\left(y\right)}{x-y}\\ =\frac{\left(x^3+x+1\right)-\left(y^3+y+1\right)}{x-y}\\ =\frac{(x-y)(x^2+xy+y^2+1)}{x-y}\\ =x^2+xy+y^2+1>0\end{array}$

Vậy hàm số đồng biến trên $ℝ$

❹ Hàm số xác định trên $ℝ$

Với mọi $x,y\in ℝ,x\ne y$, lập tỉ lệ

$\begin{array}{l}A=\frac{f\left(x\right)-f\left(y\right)}{x-y}\\ =\frac{\left(x^3+2x^2+3x+1\right)-\left(y^3+2y^2+3y+1\right)}{x-y}\\ =\frac{\left({\left(x+1\right)}^3-{\left(y+1\right)}^3\right)-\left(x^2-y^2\right)}{x-y}\\ =\frac{\left(x-y\right)\left({\left(x+1\right)}^2+(x+1)(y+1)+{(y+1)}^2+x+y\right)}{x-y}\\ ={\left(x+1\right)}^2+(x+1)(y+1)+{(y+1)}^2-(x+y)\\ =x^2+xy+y^2+2x+2y+3\\ ={\left(x+\frac{2}{3}\right)}^2+{\left(y+\frac{2}{3}\right)}^2+\left(x+\frac{2}{3}\right)\left(y+\frac{2}{3}\right)+\frac{5}{3}\\ ={\left[\left(x+\frac{2}{3}\right)+\frac{1}{2}\left(y+\frac{2}{3}\right)\right]}^2+\frac{3}{4}{\left(y+\frac{2}{3}\right)}^2+\frac{5}{3}\end{array}$

Biểu thức cuối luôn dương với mọi $x,y\in ℝ$. Do đó hàm số đồng biến trên $ℝ$.