Lập phương trình đường thẳng $\left(d\right)$, biết $\left(d\right)$

❶ Đi qua điểm $M(1;2)$ có hệ số góc bằng 3.

❷ Đi qua điểm $A(-3;2)$ và tạo với tia Ox một góc ${45}^{\circ }$

❸ Đi qua điểm $B(3;2)$ và tạo với tia Ox một góc ${60}^{\circ }$.

Đường thẳng (d) có hệ số góc bằng $-\frac{4}{3}$ có phương trình là: $y=\frac{-4}{3}x+b$

❶ Vì điểm $M(-1;1)$ thuộc (d) nên $-1=\frac{-4}{3}.1+b\iff b=1$

Vậy phương trình đường thẳng là: $\left(d\right):y=-\frac{4}{3}x+1$

❷ Gọi A, B theo thứ tự là giao điểm của (d) với các trục Ox, Oy, ta được:

• Với điểm A: $x=0\Rightarrow y=-\frac{4}{3}.0+b=b$. Do đó $A(0;b)$
• Với điểm B, $y=0\Rightarrow 0=-\frac{4}{3}.x+b\iff x=\frac{3b}{4}$. Do đó $B\left(\frac{3b}{4};0\right)$

Diện tích $\Delta OAB$ được cho bởi: $S_{\Delta OAB}=\frac{1}{2}.OA.OB\iff \frac{1}{2}.\left|b\right|.\left|\frac{3b}{4}\right|=\frac{3b^2}{8}\iff b^2=144\iff b=\pm 12$

Khi đó: 

• Với b = 12 ta được đường thẳng $\left(d_1\right):y=-\frac{4}{3}x+12$
• Với b = -12 ta được đường thẳng $\left(d_2\right):y=-\frac{4}{3}x-12$

Vậy tồn tại hai đường thẳng $\left(d_1\right)$ và $\left(d_2\right)$ thỏa mãn điều kiện đề bài.

❸ Gọi A, B theo thứ tự là giao điểm của (d) với trục Ox, Oy, ta được:

• Với điểm A. $x=0\Rightarrow y=-\frac{4}{3}.0+b=b$. Do đó $A(0;b)$
• Với điểm B, $y=0\Rightarrow 0=-\frac{4}{3}.x+b\iff x=\frac{3b}{4}$. Do đó $B\left(\frac{3b}{4};0\right)$

Gọi H là hình chiếu vuông góc của O lên đường thẳng (d).

Trong $\Delta OAB$ vuông tại O , ta có:

$\begin{array}{l}\frac{1}{O{H}^2}=\frac{1}{O{A}^2}+\frac{1}{O{B}^2}\\ \iff OH=\frac{OA.OB}{\sqrt{O{A}^2+O{B}^2}}\\ \iff \frac{3}{5}=\frac{\left|b\right|.\left|\frac{3b}{4}\right|}{\sqrt{b^2+{\left(\frac{3b}{4}\right)}^2}}=\frac{3\left|b\right|}{5}\\ \iff \left|b\right|=1\\ \iff b=\pm 1\end{array}$

Khi đó:

• Với b = 1, ta được đường thẳng $\left(d_3\right)$: $y=\frac{4}{3}x+1$
• Với b = - 1, ta được đường thẳng $\left(d_4\right)$: $y=\frac{4}{3}x-1$

Vậy tồn tại hai đường thẳng $\left(d_3\right)$ và $\left(d_4\right)$ thỏa mãn điều kiện đề bài.

Đường thẳng (d) song song với đường thẳng $\left(\Delta \right):y=-3x$ nên (d) có dạng: $y=-3x+b\left(b\ne 0\right)$

Vì (d) đi qua điểm M(1;3) nên $-3+b=3\iff b=6$.

Vậy $\left(d\right):y=-3x+6$