Cho ba điểm O, D, E. Dựng tam giác ABC sao cho O là giao điểm của các đường phân giác BD và CE.

Cho tam giác ABC có $\hat{A}=60°$, các đường phân giác BD và CE cắt nhau tại I. Qua E kẻ đường thẳng vuông góc với BD, cắt BC ở F. Chứng minh rằng:

1. E và F đối xứng với nhau qua BD.

2. IF là tia phân giác của góc BIC.

3. D và F đối xứng nhau qua IC.

Cho đường thẳng d và hai điểm A, B nằm cùng phía với đường thẳng D. Dựng điểm C thuộc d sao cho CA + CB có độ dài ngắn nhất.

Cho điểm M nằm bên trong tam giác ABC, A’ đối xứng với M qua đường phân giác của góc A, B’ đối xứng với M qua đường phân giác của góc B, C’ đối xứng với M qua đường phân giác của góc C. Chứng minh rằng các đường thẳng AA’, BB’, CC’ đồng quy hoặc song song từng đôi một.

Cho tam giác ABC. Vẽ các tia Ax, Ay trong góc A sao cho $\widehat{BAx}=\widehat{CAy}$, vẽ các tia Bz, Bt trong góc B sao cho $\widehat{ABz}=\widehat{CBt}$. Gọi E là giao điểm của Ax và Bz, gọi F là giao điểm của Ay và Bt. Chứng minh $\widehat{ACE}=\widehat{BCF}$

Cho đường thẳng d và hai điểm A, B nằm khác phái đối với d. Dựng điểm C thuộc d sao cho tia phân giác của góc ACB nằm trên d.

Dựng hình thang cân ABCD (AB//CD) có $\hat{D} = 2 \widehat{ACD}$, biết CD = a, đường cao AH = h.