Bài tập đối xứng trục

Bài toán trở nên đơn giản nếu cho A, B nằm khác phái đối với d. Khi đó C là giao điểm của d với đoạn thẳng AB. Trong trường hợp A, B nằm cùng phái với d, ta có thể tạo ra điểm B’ nằm khác phái với A đối với d mà độ dài CB’ luôn luôn bằng CB khi C thay đổi vị trí trên đường thẳng d. Điểm B’ chính là điểm đối xứng với B qua d.

Phân tích:

-Phân tích:

Giả sử đã dựng được hình thang cân thỏa mãn yêu cầu đề bài. Gọi d là đường trung trực của AB. Dựng đường thẳng x’ qua D và giao điểm của d và x (nếu d//x thì x’ là đường thẳng đi qua D và song song với x). Khi đó, x’ đối xứng với x qua d. Điểm D thỏa mãn hai điều kiện: thuộc x’ và thuộc y. Từ đó dựng được điểm C.

-Cách dựng:

+ Dựng đường trung trực d của AB.

+ Dựng đường thẳng x’ đối xứng với x qua d.

+ Gọi D là giao điểm của x’ và y. Dựng C đối xứng với D qua d.

-Chứng minh:

Theo cách dựng thì AB//CD do cùng vuông góc với d. Mặt khác AC đối xứng với BD qua d nên AC = BD. Vậy tứ giác ABCD là hình thang cân.

-Biện luận:

+ Nếu x’ trùng y thì bài toán có vô số nghiệm hình. Khi đó x và x’ đối xứng nhau qua d; nói cách khác d trùng với phân giác của góc tạo bởi x và y hoặc d là đường thẳng song song cách đều x và y.

+ Nếu x’//y thì bài toán không có nghiệm hình. Khi đó d song song với một tia phân giác của góc tạo bởi x và y.

+ Nếu x’ cắt y thì bài toán có một nghiệm hình. Khi đó d cắt cả hai đường thẳng chứa tia phân giác của góc tạo bởi x và y hoặc d cắt đường thẳng song song cách đều x và y.

Riêng nếu x’ cắt y tại điểm D thuộc d, bài toán không có nghiệm hình, nếu x’ cắt y tại điểm D thẳng hàng với AB, bài toán không có nghiệm hình.

Phân tích: Giả sử đã dựng được tam giác ABC thỏa mãn đề bài. Gọi M, N lần lượt là các điểm đối xứng với D qua OE, đối xứng với E qua OD. Chú ý rằng BC đối xứng với BA qua OD và CB đối xứng với CA qua OE nên M, N thuộc BC. Từ đó B là giao điểm của MN và OD, C là giao điểm của MN và OE.

Cách dựng:

• Dựng M đối xứng với D qua OE, N đối xứng với E qua OD.
• Dựng điểm B, C lần lượt là giao điểm của MN với OD và OE.
• Dựng điểm A là giao điểm của BE và CD.

Phân tích: Giả sử đã dựng được hình vẽ thỏa mãn bài toán. Khi đó hai đường thẳng CA và CB đối xứng nhau qua d. Do đó điểm A’ đối xứng với A qua d thuộc đường thẳng CB. Khi đó C là giao điểm của BA’ và d.

Cách dựng:

• Dựng điểm A’ đối xứng với A qua d.
• Dựng điểm C là giao điểm của BA’ và d.

Chứng minh: theo cách dựng thì CA và CB là hai đường thẳng đối xứng với nhau qua d nên d là đường phân giác của góc $\widehat{ACB}$. Ta có điều phải chứng minh.

Biện luận:

• Nếu khoảng cách từ A và B đến d bằng nhau thì bài toán không có nghiệm hình.
• Nếu khoảng cách từ A và B đến d khác nhau thì bài toán không có nghiệm hình.