Bài tập đối xứng tâm

Gọi EFGH là hình bình hành có bốn đỉnh nằm trên bốn cạnh của hình bình hành ABCD (như hình vẽ bên). Gọi O là tâm của hình bình hành EFGH, ta sẽ chứng minh O cũng là tâm của hình bình hành ABCD. Thật vậy

Gọi P, Q lần lượt là trung điểm của các cạnh AD, BC. Ta có OP là đường trung bình của hình thang AEGD

Nên OP // DG    (1)

Tương tự ta có:

OQ là đường trung bình của hình thang CGEB

Nên OQ // GC   (2)

Từ (1) và (2) ta suy ra O, P, Q thẳng hàng.

Vì EFGH là hình bình hành nên GF // EH, GF = EH và

Vì PQ là đường trung bình của hình bình hành ABCD nên O cũng là trung điểm của AC, BD. Do vậy O là tâm của hình bình hành ABCD.

+) Phân tích:

Gọi O là trung điểm của EG thì O là điểm xác định và O là trung điểm của FH.

Vì F thuộc cạnh CD nên H sẽ nằm trên đường thẳng d là ảnh của đường thẳng CD qua phép đối xứng tâm O, do đó F là giao điểm của d và AB.

+) Cách dựng:

Dựng trung điểm O của đoạn EG.

Hạ $OM\perp CD$ tại M. Lấy đối xứng của M qua O ta được điểm N. Qua N kẻ đường thẳng d song song với CD, cắt AB tại F. Nối FO cắt CD tại H.

Vậy EFGH là hình cần dựng.

+) Chứng minh:

Nên OH = OF.

Tứ giác EFGH có OE = OG, OH = OF nên EFGH là hình bình hành.

+) Biện luận:

Nếu d trùng với AB: khi đó AB // CD, O cách đều AB và CD thì bài toán có vô số nghiệm hình.

Nếu d song song với AB: khi đó AB // CD, O không cách đều AB và CD thì bài toán không có nghiệm hình.

Nếu d cắt AB: khi đó AB không song song với CD thì bài toán có một nghiệm hình.

Vì AB’ song song và bằng A’B (do cùng song song và bằng OC) nên ABA’B’ là hình bình hành, do đó AA’ cắt BB’ tại trung điểm mỗi đường (1)

Tương tự, BCB’C’ là hình bình hành, do đó BB’ cắt CC’ tại trung điểm mỗi đường. (2)

Từ (1) và (2) ta suy ra các đường thẳng AA’, BB’, CC’ đồng quy.

1. Ta có hai cách dựng như sau:

Cách 1. Qua M dựng đường thẳng song song với Ox, cắt Oy ở D. Dựng B đối xứng với O qua D, đường thẳng BM cắt Ox tại A.

Cách 2. Dựng N đối xứng với O qua M. Qua N dựng các đường hẳng song song với Oy, Ox và lần lượt cắt Ox, Oy tại A, B.

2. Qua M vẽ đường thẳng bất kì (không trùng với AB), cắt Ox, Oy lần lượt tại A’, B’.

Ta sẽ chứng minh

Thật vậy

Có duy nhất một đường thẳng đi qua M và cắt Ox, Oy lần lượt tại A, B sao cho M là trung điểm AB nên MA’, MB’ không bằng nhau (giả sử MA’>MB’)

Trên tia MA’ ta lấy điểm B sao cho MB’ = ME, khi đó

Giả sử cần dựng tam giác ABC, ta biết đỉnh A, trọng tâm G và hai đỉnh B, C lần lượt nằm trên hai đường thẳng $d_1, d_2$. Lấy điểm B bất kì trên $d_1$.

Do A, G xác định nên trung điểm M của BC xác định. Vì B, C đối xứng nhau qua M nên C nằm trên đường thẳng $d_1\text{'}$ là ảnh của $d_1$ qua phép đối xứng tâm M. Do vậy C là giao điểm của $d_1\text{'}$ và $d_2$.