Dựng tam giác biết một đỉnh, trọng tâm và hai đường thẳng đi qua hai đỉnh còn lại.

1. Ta có hai cách dựng như sau:

Cách 1. Qua M dựng đường thẳng song song với Ox, cắt Oy ở D. Dựng B đối xứng với O qua D, đường thẳng BM cắt Ox tại A.

Cách 2. Dựng N đối xứng với O qua M. Qua N dựng các đường hẳng song song với Oy, Ox và lần lượt cắt Ox, Oy tại A, B.

2. Qua M vẽ đường thẳng bất kì (không trùng với AB), cắt Ox, Oy lần lượt tại A’, B’.

Ta sẽ chứng minh

Thật vậy

Có duy nhất một đường thẳng đi qua M và cắt Ox, Oy lần lượt tại A, B sao cho M là trung điểm AB nên MA’, MB’ không bằng nhau (giả sử MA’>MB’)

Trên tia MA’ ta lấy điểm B sao cho MB’ = ME, khi đó

Gọi EFGH là hình bình hành có bốn đỉnh nằm trên bốn cạnh của hình bình hành ABCD (như hình vẽ bên). Gọi O là tâm của hình bình hành EFGH, ta sẽ chứng minh O cũng là tâm của hình bình hành ABCD. Thật vậy

Gọi P, Q lần lượt là trung điểm của các cạnh AD, BC. Ta có OP là đường trung bình của hình thang AEGD

Nên OP // DG    (1)

Tương tự ta có:

OQ là đường trung bình của hình thang CGEB

Nên OQ // GC   (2)

Từ (1) và (2) ta suy ra O, P, Q thẳng hàng.

Vì EFGH là hình bình hành nên GF // EH, GF = EH và

Vì PQ là đường trung bình của hình bình hành ABCD nên O cũng là trung điểm của AC, BD. Do vậy O là tâm của hình bình hành ABCD.